Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что цифра выпадет: 1) два раза; 2) ни одного раза; 3) меньше двух раз; 4) не менее двух раз?

Для решения данной задачи используем теорию вероятностей, в частности биномиальное распределение. Когда мы подбрасываем монету, событие можно представить как испытание с двумя результатами: "орел" и "решка". Для каждой подбрасывания вероятность выпадения орла (или решки) составляет 0.5. ### Определим параметры задачи: - **n** (число испытаний) = 7 (монета подбрасывается 7 раз), - **p** (вероятность успеха, т.е. выпадения "орла") = 0.5, - **k** (число успехов) изменяется в зависимости от вопроса. Вероятность того, что событие произойдет именно k раз, вычисляется по формуле биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p^k) \cdot (1 - p)^{n - k} \] где: - \(C(n, k)\) = \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\) — биномиальный коэффициент, - \(p^k\) — вероятность успеха k раз, - \((1 - p)^{n - k}\) — вероятность неуспеха (в нашем случае это выпадение решки) в оставшихся испытаниях. ### Решим по пунктам: 1) **Вероятность того, что "орел" выпадает два раза** (k = 2): \[ P(X = 2) = C(7, 2) \cdot (0.5^2) \cdot (0.5^{7 - 2}) = C(7, 2) \cdot (0.5^2) \cdot (0.5^5) \] \[ = C(7, 2) \cdot (0.5^7) \] Вычисляем биномиальный коэффициент: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] Затем подставим в уравнение: \[ P(X = 2) = 21 \cdot (0.5^7) = 21 \cdot \frac{1}{128} = \frac{21}{128} \approx 0.164 \] 2) **Вероятность того, что "орел" не выпадает ни одного раза** (k = 0): \[ P(X = 0) = C(7, 0) \cdot (0.5^0) \cdot (0.5^{7}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{128} = \frac{1}{128} \approx 0.0078 \] 3) **Вероятность того, что "орел" выпадает меньше двух раз** (k < 2): Это два случая: k = 0 и k = 1. Поэтому мы считаем: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \] Сначала найдем P(X = 1): \[ P(X = 1) = C(7, 1) \cdot (0.5^1) \cdot (0.5^{7 - 1}) = 7 \cdot 0.5 \cdot (0.5^6) = 7 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{64} \] \[ = 7 \cdot \frac{1}{128} = \frac{7}{128} \] Теперь подставим в формулу: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{128} + \frac{7}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} \approx 0.0625 \] 4) **Вероятность того, что "орел" выпадает не менее двух раз**: Это противоположное событие к "орел" выпадает меньше двух раз. Таким образом: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \approx 0.9375 \] ### Ответы: 1. Вероятность того, что "орел" выпадет два раза: \(\frac{21}{128} \approx 0.164\) 2. Вероятность того, что "орел" не выпадет ни разу: \(\frac{1}{128} \approx 0.0078\) 3. Вероятность того, что "орел" выпадает меньше двух раз: \(\frac{1}{16} \approx 0.0625\) 4. Вероятность того, что "орел" выпадает не менее двух раз: \(\frac{15}{16} \approx 0.9375\)