Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что цифра выпадет: 1) два раза; 2) ни одного раза; 3) меньше двух раз; 4) не менее двух раз?

Для решения данной задачи используем теорию вероятностей, в частности биномиальное распределение.

Когда мы подбрасываем монету, событие можно представить как испытание с двумя результатами: "орел" и "решка". Для каждой подбрасывания вероятность выпадения орла (или решки) составляет 0.5.

Определим параметры задачи:

• n (число испытаний) = 7 (монета подбрасывается 7 раз),
• p (вероятность успеха, т.е. выпадения "орла") = 0.5,
• k (число успехов) изменяется в зависимости от вопроса.

Вероятность того, что событие произойдет именно k раз, вычисляется по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p^k) \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \(C(n, k)\) = \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\) — биномиальный коэффициент,
• \(p^k\) — вероятность успеха k раз,
• \((1 - p)^{n - k}\) — вероятность неуспеха (в нашем случае это выпадение решки) в оставшихся испытаниях.

Решим по пунктам:

1. Вероятность того, что "орел" выпадает два раза (k = 2):

\[ P(X = 2) = C(7, 2) \cdot (0.5^2) \cdot (0.5^{7 - 2}) = C(7, 2) \cdot (0.5^2) \cdot (0.5^5) \] \[ = C(7, 2) \cdot (0.5^7) \]

Вычисляем биномиальный коэффициент:

\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]

Затем подставим в уравнение:

\[ P(X = 2) = 21 \cdot (0.5^7) = 21 \cdot \frac{1}{128} = \frac{21}{128} \approx 0.164 \]

2. Вероятность того, что "орел" не выпадает ни одного раза (k = 0):

\[ P(X = 0) = C(7, 0) \cdot (0.5^0) \cdot (0.5^{7}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{128} = \frac{1}{128} \approx 0.0078 \]

3. Вероятность того, что "орел" выпадает меньше двух раз (k < 2):

Это два случая: k = 0 и k = 1. Поэтому мы считаем:

\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \]

Сначала найдем P(X = 1):

\[ P(X = 1) = C(7, 1) \cdot (0.5^1) \cdot (0.5^{7 - 1}) = 7 \cdot 0.5 \cdot (0.5^6) = 7 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{64} \] \[ = 7 \cdot \frac{1}{128} = \frac{7}{128} \]

Теперь подставим в формулу:

\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{128} + \frac{7}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} \approx 0.0625 \]

4. Вероятность того, что "орел" выпадает не менее двух раз:

Это противоположное событие к "орел" выпадает меньше двух раз. Таким образом:

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \approx 0.9375 \]

Ответы:

1. Вероятность того, что "орел" выпадет два раза: \(\frac{21}{128} \approx 0.164\)
2. Вероятность того, что "орел" не выпадет ни разу: \(\frac{1}{128} \approx 0.0078\)
3. Вероятность того, что "орел" выпадает меньше двух раз: \(\frac{1}{16} \approx 0.0625\)
4. Вероятность того, что "орел" выпадает не менее двух раз: \(\frac{15}{16} \approx 0.9375\)