Даны векторы a(2;6) и b(-3;k). При каком значении k векторы a и b: 1) коллинеарны; 2)перпендикулярны?

Чтобы решить задачу, определим сначала свойства векторов. Векторы a и b будут коллинеарны, если они могут быть выражены через одно и то же направление, т.е. если их можно выразить как \( b = \lambda a \) для некоторого скаляра \( \lambda \). Перпендикулярны они будут, если скалярное произведение векторов равно нулю \( a \cdot b = 0 \).

1) Условия коллинеарности

Векторы \( a(2;6) \) и \( b(-3;k) \) будут коллинеарны, если:

\[ \frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \]

Решим это уравнение. Перемножив равенства, получим:

\[ 2k = 6 \cdot (-3) \]

\[ 2k = -18 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ k = -9 \]

Таким образом, векторы a и b будут коллинеарны при \( k = -9 \).

2) Условия перпендикулярности

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[ a \cdot b = 0 \]

Скалярное произведение векторов определяется как:

\[ a \cdot b = (2)(-3) + (6)(k) \]

Подставим это в уравнение:

\[ -6 + 6k = 0 \]

Теперь решим это уравнение. Добавим 6 к обeим сторонам:

\[ 6k = 6 \]

Разделим обе стороны на 6:

\[ k = 1 \]

Таким образом, векторы a и b будут перпендикулярны при \( k = 1 \).

Итог

1. Векторы будут коллинеарны при \( k = -9 \).
2. Векторы будут перпендикулярны при \( k = 1 \).