Чтобы решить задачу, определим сначала свойства векторов. Векторы a и b будут коллинеарны, если они могут быть выражены через одно и то же направление, т.е. если их можно выразить как ( b = \lambda a ) для некоторого скаляра ( \lambda ). Перпендикулярны они будут, если скалярное произведение векторов равно нулю ( a \cdot b = 0 ).
1) Условия коллинеарности
Векторы ( a(2;6) ) и ( b(-3;k) ) будут коллинеарны, если:
[
\frac{2}{-3} = \frac{6}{k}
]
Решим это уравнение. Перемножив равенства, получим:
[
2k = 6 \cdot (-3)
]
[
2k = -18
]
Разделим обе стороны на 2:
[
k = -9
]
Таким образом, векторы a и b будут коллинеарны при ( k = -9 ).
2) Условия перпендикулярности
Для того чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
[
a \cdot b = 0
]
Скалярное произведение векторов определяется как:
[
a \cdot b = (2)(-3) + (6)(k)
]
Подставим это в уравнение:
[
-6 + 6k = 0
]
Теперь решим это уравнение. Добавим 6 к обeим сторонам:
[
6k = 6
]
Разделим обе стороны на 6:
[
k = 1
]
Таким образом, векторы a и b будут перпендикулярны при ( k = 1 ).
Итог
- Векторы будут коллинеарны при ( k = -9 ).
- Векторы будут перпендикулярны при ( k = 1 ).
