x⁵-5x³-20x. [-8;1] найти fmax fmi
Для нахождения максимальных и минимальных значений функции \( f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x \) на отрезке \([-8; 1]\), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдем производную функции
Нам необходимо найти первую производную функции \( f(x) \) для нахождения критических точек:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^3 - 20x) \]
Используем правила дифференцирования:
- Производная \( x^5 \) равна \( 5x^4 \).
- Производная \( -5x^3 \) равна \( -15x^2 \).
- Производная \( -20x \) равна \( -20 \).
Подставляем это в производную функции:
\[ f'(x) = 5x^4 - 15x^2 - 20 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 5x^4 - 15x^2 - 20 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив всё на 5:
\[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \]
Обозначим \( y = x^2 \), тогда у нас получится квадратное уравнение:
\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -3, c = -4 \):
\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Находим два значения:
- \( y_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) \( \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \) или \( x = -2 \)
- \( y_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \) (отрицательное, значит, не принимается)
Таким образом, критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
Шаг 4: Проверим критические точки и границы отрезка
Теперь мы проверим значения функции \( f(x) \) в критических точках и на границах отрезка \([-8; 1]\):
- \( f(-8) = (-8)^5 - 5(-8)^3 - 20(-8) \)
- \( f(-2) = (-2)^5 - 5(-2)^3 - 20(-2) \)
- \( f(1) = (1)^5 - 5(1)^3 - 20(1) \)
Подсчет значений функции
- Для \( x = -8 \):
\[ f(-8) = -32768 + 5 \cdot 512 + 160 = -32768 + 2560 + 160 = -30448 \]
- Для \( x = -2 \):
\[ f(-2) = -32 + 5 \cdot 8 + 40 = -32 + 40 + 40 = 48 \]
- Для \( x = 1 \):
\[ f(1) = 1 - 5 - 20 = -24 \]
Шаг 5: Сравним значения
Теперь сравним все найденные значения:
- \( f(-8) = -30448 \)
- \( f(-2) = 48 \)
- \( f(1) = -24 \)
Шаг 6: Определим максимум и минимум
На отрезке \([-8; 1]\) максимальное значение \( f(-2) = 48 \), а минимальное значение \( f(-8) = -30448 \).
Ответ:
- \( f_{\max} = 48 \) при \( x = -2 \)
- \( f_{\min} = -30448 \) при \( x = -8 \)
