X⁵-5x³-20x. [-8;1] найти fmax fmi

Для нахождения максимальных и минимальных значений функции \( f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x \) на отрезке \([-8; 1]\), следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Найдем производную функции Нам необходимо найти первую производную функции \( f(x) \) для нахождения критических точек: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^3 - 20x) \] Используем правила дифференцирования: 1. Производная \( x^5 \) равна \( 5x^4 \). 2. Производная \( -5x^3 \) равна \( -15x^2 \). 3. Производная \( -20x \) равна \( -20 \). Подставляем это в производную функции: \[ f'(x) = 5x^4 - 15x^2 - 20 \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 5x^4 - 15x^2 - 20 = 0 \] Упростим уравнение, разделив всё на 5: \[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \] Обозначим \( y = x^2 \), тогда у нас получится квадратное уравнение: \[ y^2 - 3y - 4 = 0 \] ### Шаг 3: Решим квадратное уравнение Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -3, c = -4 \): \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Находим два значения: 1. \( y_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) \( \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \) или \( x = -2 \) 2. \( y_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \) (отрицательное, значит, не принимается) Таким образом, критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). ### Шаг 4: Проверим критические точки и границы отрезка Теперь мы проверим значения функции \( f(x) \) в критических точках и на границах отрезка \([-8; 1]\): - \( f(-8) = (-8)^5 - 5(-8)^3 - 20(-8) \) - \( f(-2) = (-2)^5 - 5(-2)^3 - 20(-2) \) - \( f(1) = (1)^5 - 5(1)^3 - 20(1) \) ### Подсчет значений функции 1. Для \( x = -8 \): \[ f(-8) = -32768 + 5 \cdot 512 + 160 = -32768 + 2560 + 160 = -30448 \] 2. Для \( x = -2 \): \[ f(-2) = -32 + 5 \cdot 8 + 40 = -32 + 40 + 40 = 48 \] 3. Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 1 - 5 - 20 = -24 \] ### Шаг 5: Сравним значения Теперь сравним все найденные значения: - \( f(-8) = -30448 \) - \( f(-2) = 48 \) - \( f(1) = -24 \) ### Шаг 6: Определим максимум и минимум На отрезке \([-8; 1]\) максимальное значение \( f(-2) = 48 \), а минимальное значение \( f(-8) = -30448 \). ### Ответ: - \( f_{\max} = 48 \) при \( x = -2 \) - \( f_{\min} = -30448 \) при \( x = -8 \)