√4x-5 найти первообразную

Чтобы найти первообразную функции \( \sqrt{4x - 5} \), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определить интеграл

Первая задача — выразить функцию в более удобной форме для интегрирования. В данном случае мы имеем функцию \( f(x) = \sqrt{4x - 5} \). Ищем её первообразную, то есть интеграл \( \int \sqrt{4x - 5} \, dx \).

Шаг 2: Сначала сделаем замену переменной

Для упрощения интегрирования можно сделать замену переменной. Обозначим: \[ u = 4x - 5 \] Тогда, производная \( u \) по \( x \) будет: \[ \frac{du}{dx} = 4 \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{4} \]

Шаг 3: Преобразуем интеграл

Теперь, используя эту замену, преобразуем интеграл: \[ \int \sqrt{4x - 5} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{4} \] Выносим \( \frac{1}{4} \) за знак интеграла: \[ = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} \, du \]

Шаг 4: Вычисляем интеграл

Интеграл \( \int \sqrt{u} \, du \) можно вычислить. Помним, что: \[ \sqrt{u} = u^{1/2} \] Тогда используем стандартную формулу интегрирования: \[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \] где \( n = 1/2 \).

Таким образом: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} u^{3/2} + C \]

Шаг 5: Подставляем обратно

Теперь подставим полученный результат обратно в наш интеграл: \[ \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{2}{3} u^{3/2} + C \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + \frac{C}{4} = \frac{1}{6} u^{3/2} + C_1 \]

Где \( C_1 \) — это новая произвольная постоянная.

Теперь заменяем \( u \) обратно на \( 4x - 5 \): \[ \frac{1}{6} (4x - 5)^{3/2} + C_1 \]

Шаг 6: Ответ

Таким образом, первообразная функции \( \sqrt{4x - 5} \) будет: \[ \int \sqrt{4x - 5} \, dx = \frac{1}{6} (4x - 5)^{3/2} + C \] Где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Заключение

Мы нашли первообразную функции шаг за шагом, применяя замену переменной и основные правила интегрирования. Если есть вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!