Реши

Чтобы найти точку экстремума функции \( f(x) = xe^{-x} \) и определить её тип и значение, следуем следующим шагам: ### Шаг 1. Найдите первую производную Для функции \( f(x) = xe^{-x} \), используем правило произведения для нахождения производной: \[ f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' \] - \((x)' = 1\) - \((e^{-x})' = -e^{-x}\) Следовательно, \[ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} \] Упростим: \[ f'(x) = e^{-x}(1 - x) \] ### Шаг 2. Найдите критические точки Критические точки находятся, когда \( f'(x) = 0 \): \[ e^{-x}(1 - x) = 0 \] Поскольку \( e^{-x} > 0 \) для всех \( x \), уравнение будет равно нулю, когда \( 1 - x = 0 \). Решив, получаем: \[ x = 1 \] ### Шаг 3. Определите тип экстремума Используем вторую производную: Первую производную знаем: \[ f'(x) = e^{-x}(1 - x) \] Теперь найдём вторую производную \( f''(x) \). Производная \( f'(x) \): \[ f''(x) = \left(e^{-x}(1 - x)\right)' \] Применим правило произведения: - \( (e^{-x})' = -e^{-x} \) - \( (1-x)' = -1 \) Потому: \[ f''(x) = (-e^{-x})(1-x) + e^{-x}(-1) \] Упростим: \[ f''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = -e^{-x}(1-x + 1) = -e^{-x}(-x) = xe^{-x} \] Теперь подставим \( x = 1 \): \[ f''(1) = 1 \cdot e^{-1} = e^{-1} > 0 \] Поскольку вторая производная положительна (\( f''(1) > 0 \)), точка \( x = 1 \) является точкой минимума. ### Шаг 4. Найдите значение функции в точке экстремума Теперь подставим \( x = 1 \) в первоначальную функцию \( f(x) = xe^{-x} \): \[ f(1) = 1 \cdot e^{-1} = e^{-1} \] ### Ответ Точка экстремума: \( x_0 = 1 \) Тип экстремума: Минимум Значение экстремума: \( f(x_0) = e^{-1} \)