реши
Чтобы найти точку экстремума функции \( f(x) = xe^{-x} \) и определить её тип и значение, следуем следующим шагам:
Шаг 1. Найдите первую производную
Для функции \( f(x) = xe^{-x} \), используем правило произведения для нахождения производной:
\[ f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' \]
- \((x)' = 1\)
- \((e^{-x})' = -e^{-x}\)
Следовательно,
\[ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} \]
Упростим:
\[ f'(x) = e^{-x}(1 - x) \]
Шаг 2. Найдите критические точки
Критические точки находятся, когда \( f'(x) = 0 \):
\[ e^{-x}(1 - x) = 0 \]
Поскольку \( e^{-x} > 0 \) для всех \( x \), уравнение будет равно нулю, когда \( 1 - x = 0 \).
Решив, получаем:
\[ x = 1 \]
Шаг 3. Определите тип экстремума
Используем вторую производную:
Первую производную знаем:
\[ f'(x) = e^{-x}(1 - x) \]
Теперь найдём вторую производную \( f''(x) \).
Производная \( f'(x) \):
\[ f''(x) = \left(e^{-x}(1 - x)\right)' \]
Применим правило произведения:
- \( (e^{-x})' = -e^{-x} \)
- \( (1-x)' = -1 \)
Потому:
\[ f''(x) = (-e^{-x})(1-x) + e^{-x}(-1) \]
Упростим:
\[ f''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = -e^{-x}(1-x + 1) = -e^{-x}(-x) = xe^{-x} \]
Теперь подставим \( x = 1 \):
\[ f''(1) = 1 \cdot e^{-1} = e^{-1} > 0 \]
Поскольку вторая производная положительна (\( f''(1) > 0 \)), точка \( x = 1 \) является точкой минимума.
Шаг 4. Найдите значение функции в точке экстремума
Теперь подставим \( x = 1 \) в первоначальную функцию \( f(x) = xe^{-x} \):
\[ f(1) = 1 \cdot e^{-1} = e^{-1} \]
Ответ
Точка экстремума: \( x_0 = 1 \)
Тип экстремума: Минимум
Значение экстремума: \( f(x_0) = e^{-1} \)
