реши

Чтобы решить задачу, нужно найти неизвестные величины \( y_0 \) и \( k \) для касательной к функции в точке \( x_0 \).

1. Найдем \( y_0 \):

Функция задана как:

\[ f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3 \]

Значение функции в точке \( x_0 = 0 \) будет равно \( y_0 \):

\[ y_0 = f(0) = e^0 + \ln(1 + 5 \cdot 0) + 3 = 1 + \ln(1) + 3 = 1 + 0 + 3 = 4 \]

Итак, \( y_0 = 4 \).

2. Найдем производную \( f'(x) \):

Вычислим производную \( f(x) \):

\[ f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3 \]

Производная:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(\ln(1 + 5x)) + \frac{d}{dx}(3) \]

\[ f'(x) = e^x + \frac{5}{1 + 5x} \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = 0 \):

\[ f'(0) = e^0 + \frac{5}{1 + 5 \cdot 0} = 1 + 5 = 6 \]

Следовательно, коэффициент углового наклона касательной \( k = 6 \).

Таким образом, найденные величины:

\[ y_0 = 4, \quad k = 6 \]