Чтобы решить задачу, нужно найти неизвестные величины ( y_0 ) и ( k ) для касательной к функции в точке ( x_0 ).
- Найдем ( y_0 ):
Функция задана как:
[
f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3
]
Значение функции в точке ( x_0 = 0 ) будет равно ( y_0 ):
[
y_0 = f(0) = e^0 + \ln(1 + 5 \cdot 0) + 3 = 1 + \ln(1) + 3 = 1 + 0 + 3 = 4
]
Итак, ( y_0 = 4 ).
- Найдем производную ( f'(x) ):
Вычислим производную ( f(x) ):
[
f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3
]
Производная:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(\ln(1 + 5x)) + \frac{d}{dx}(3)
]
[
f'(x) = e^x + \frac{5}{1 + 5x}
]
Теперь найдем значение производной в точке ( x_0 = 0 ):
[
f'(0) = e^0 + \frac{5}{1 + 5 \cdot 0} = 1 + 5 = 6
]
Следовательно, коэффициент углового наклона касательной ( k = 6 ).
Таким образом, найденные величины:
[
y_0 = 4, \quad k = 6
]
