реши
Для решения этой задачи нужно найти производную данной функции и уравнение касательной в заданной точке. Давайте разберемся по шагам.
Дана функция:
\[ f(x) = -e^x + \ln(1 + 5x) + 3 \]
Уравнение касательной:
\[ y - y_0 = k(x - x_0) \]
Нужно найти \( y_0 \) и \( k \).
Шаг 1: Найдем \( y_0 \)
\( y_0 \) — значение функции в точке \( x = x_0 \).
\[ y_0 = f(x_0) = -e^{x_0} + \ln(1 + 5x_0) + 3 \]
Учитывая условие \( y_0 - y_0 = k(x - x_0) \), видно, что \( k = 0 \).
Шаг 2: Найдем производную функции \( f(x) \)
Чтобы найти коэффициент \( k \), который является производной функции в точке \( x_0 \), нужно продифференцировать функцию \( f(x) \).
- Производная от \( -e^x \) равна \( -e^x \).
- Производная от \( \ln(1 + 5x) \) равна: \[ \frac{d}{dx}[\ln(1 + 5x)] = \frac{1}{1 + 5x} \cdot 5 = \frac{5}{1 + 5x} \]
- Производная от постоянного числа 3 равна 0.
Итак, производная: \[ f'(x) = -e^x + \frac{5}{1 + 5x} \]
Шаг 3: Найдем \( k \) в точке \( x = x_0 \)
\[ k = f'(x_0) = -e^{x_0} + \frac{5}{1 + 5x_0} \]
Вывод
Полагая \( x_0 \), например, равным 0, мы можем вычислить:
- \( y_0 = f(0) = -e^0 + \ln(1) + 3 = -1 + 3 = 2 \)
- \( k = f'(0) = -e^0 + \frac{5}{1 + 5 \cdot 0} = -1 + 5 = 4 \)
Таким образом, при \( x_0 = 0 \), значения:
- \( y_0 = 2 \)
- \( k = 4 \)
В реальном задании константы и значения могут быть иными, для решения конкретного примера потребуется подставить заданное значение \( x_0 \).
