Давайте решим задачу о вероятности. У нас есть урна с 20 шарами: 15 белых и 5 черных. Мы хотим найти вероятность того, что при вытягивании 5 шаров подряд, из них будет ровно 2 белых.
Шаг 1: Определим общее количество исходов
Поскольку каждый шар возвращается в урну после вытягивания, каждый раз у нас есть одинаковая вероятность вытянуть белый или черный шар. Всего у нас 20 шаров, и каждый из 5 вытащенных шаров может быть белым или черным. Поэтому общее количество возможных исходов для вытягивания 5 шаров:
[
N_{\text{всего}} = 20^5
]
Шаг 2: Определим количество благоприятных исходов
Теперь найдем количество благоприятных исходов, когда из 5 вытянутых шаров 2 белых. Для этого мы можем воспользоваться сочетаниями и вероятностями.
Выберем 2 белых шара. Вероятность вытянуть белый шар в одном случае составляет ( \frac{15}{20} = \frac{3}{4} ).
Таким образом, вероятность того, что мы вытянем 2 белых шара из 5:
[
P(\text{2 белых}) = \left( \frac{3}{4} \right)^2
]
Остальные 3 шара должны быть черными. Вероятность вытянуть черный шар составляет ( \frac{5}{20} = \frac{1}{4} ). Значит, вероятность того, что мы вытянем черные шары в трех случаях:
[
P(\text{3 черных}) = \left( \frac{1}{4} \right)^3
]
Таким образом, вероятность того, что из 5 вытянутых шаров 2 белых и 3 черных:
[
P(\text{2 белых и 3 черных}) = \left( \frac{3}{4} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} \right)^3
]
Шаг 3: Учитываем разные перестановки
Теперь нам нужно учитывать все возможные способы, которыми мы можем выбрать 2 белых и 3 черных шаров из 5 (порядок важен, так как мы выделяем конкретные вытянутые шары). Это можно сделать с помощью сочетаний:
Количество способов выбрать 2 из 5:
[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
]
Шаг 4: Общая вероятность
Теперь мы можем сложить все это вместе для получения полной вероятности:
[
P = C(5, 2) \times P(\text{2 белых}) \times P(\text{3 черных}) = 10 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} \right)^3
]
Шаг 5: Подсчитаем
Вычислим вероятность:
[
P = 10 \times \left( \frac{9}{16} \right) \times \left( \frac{1}{64} \right) = 10 \times \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024}
]
Упростим дробь:
[
P = \frac{45}{512}
]
Ответ
Вероятность того, что из 5 вынутых шаров будет 2 белых, составляет (\frac{45}{512}) или около 0.0879 (или 8.79%).
