3. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются.…

Давайте решим задачу о вероятности. У нас есть урна с 20 шарами: 15 белых и 5 черных. Мы хотим найти вероятность того, что при вытягивании 5 шаров подряд, из них будет ровно 2 белых.

Шаг 1: Определим общее количество исходов

Поскольку каждый шар возвращается в урну после вытягивания, каждый раз у нас есть одинаковая вероятность вытянуть белый или черный шар. Всего у нас 20 шаров, и каждый из 5 вытащенных шаров может быть белым или черным. Поэтому общее количество возможных исходов для вытягивания 5 шаров:

\[ N_{\text{всего}} = 20^5 \]

Шаг 2: Определим количество благоприятных исходов

Теперь найдем количество благоприятных исходов, когда из 5 вытянутых шаров 2 белых. Для этого мы можем воспользоваться сочетаниями и вероятностями.

1. Выберем 2 белых шара. Вероятность вытянуть белый шар в одном случае составляет \( \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \).

2. Таким образом, вероятность того, что мы вытянем 2 белых шара из 5:

   \[ P(\text{2 белых}) = \left( \frac{3}{4} \right)^2 \]

3. Остальные 3 шара должны быть черными. Вероятность вытянуть черный шар составляет \( \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \). Значит, вероятность того, что мы вытянем черные шары в трех случаях:

   \[ P(\text{3 черных}) = \left( \frac{1}{4} \right)^3 \]

Таким образом, вероятность того, что из 5 вытянутых шаров 2 белых и 3 черных:

\[ P(\text{2 белых и 3 черных}) = \left( \frac{3}{4} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} \right)^3 \]

Шаг 3: Учитываем разные перестановки

Теперь нам нужно учитывать все возможные способы, которыми мы можем выбрать 2 белых и 3 черных шаров из 5 (порядок важен, так как мы выделяем конкретные вытянутые шары). Это можно сделать с помощью сочетаний:

Количество способов выбрать 2 из 5:

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Шаг 4: Общая вероятность

Теперь мы можем сложить все это вместе для получения полной вероятности:

\[ P = C(5, 2) \times P(\text{2 белых}) \times P(\text{3 черных}) = 10 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} \right)^3 \]

Шаг 5: Подсчитаем

1. Вычислим вероятность:

   \[ P = 10 \times \left( \frac{9}{16} \right) \times \left( \frac{1}{64} \right) = 10 \times \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} \]

2. Упростим дробь:

   \[ P = \frac{45}{512} \]

Ответ

Вероятность того, что из 5 вынутых шаров будет 2 белых, составляет \(\frac{45}{512}\) или около 0.0879 (или 8.79%).