реши
Чтобы найти промежуток, на котором график функции \( f(x) = \frac{1}{1-x^2} \) имеет выпуклость вниз, нам нужно проанализировать второй производной функции. Выпуклость вниз соответствует отрицательной второй производной.
Шаги решения:
Найдем первую производную функции \( f(x) \).
\[ f(x) = \frac{1}{1-x^2} \]
Используем правило дифференцирования дроби:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x^2} \right) = \frac{0 \cdot (1-x^2) - 1 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2x}{(1-x^2)^2} \]
Найдем вторую производную функции \( f(x) \).
\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{(1-x^2)^2} \right) \]
Применяем правило дифференцирования дроби снова:
\[ f''(x) = \frac{(2 \cdot (1-x^2)^2) - (2x \cdot 2 \cdot (1-x^2) \cdot (-2x))}{(1-x^2)^4} \]
\[ = \frac{2(1-x^2)^2 + 4x^2(1-x^2)}{(1-x^2)^4} \]
\[ = \frac{2(1 - 2x^2 + x^4) + 4x^2 - 4x^4}{(1-x^2)^4} \]
\[ = \frac{2 - 4x^2 + 2x^4 + 4x^2 - 4x^4}{(1-x^2)^4} \]
\[ = \frac{2 - 2x^4}{(1-x^2)^4} \]
\[ = \frac{2(1 - x^4)}{(1-x^2)^4} \]
Определите условие для выпуклости вниз:
Выпуклость вниз происходит, когда \( f''(x) < 0 \).
\[ \frac{2(1-x^4)}{(1-x^2)^4} < 0 \]
\[ 1-x^4 < 0 \]
\[ x^4 > 1 \]
Это неравенство выполняется, когда \( |x| > 1 \).
Вывод:
Функция \( f(x) = \frac{1}{1-x^2} \) имеет выпуклость вниз на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, \infty) \).
Следовательно, \( a = -1 \) и \( b = 1 \).
- \( a = -1 \)
- \( b = 1 \)
