Для решения данной задачи воспользуемся уравнением фотоэлектрического эффекта. Этот эффект объясняет, как фотоны света могут выбивать электроны из металла, и его можно описать следующим уравнением:
[ E_k = E_{\text{фото}} - W ]
где:
- ( E_k ) — кинетическая энергия выбитых электронов,
- ( E_{\text{фото}} ) — энергия фотона,
- ( W ) — работа выхода электрона из металла.
Сначала подставим известные значения в уравнение.
Кинетическая энергия фотоэлектронов равна:
[ E_k = 4,5 \cdot 10^{-20} \text{ Дж} ]
Работа выхода электрона из металла составляет:
[ W = 7,5 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} ]
Теперь подставим эти значения в уравнение:
[ 4,5 \cdot 10^{-20} = E_{\text{фото}} - 7,5 \cdot 10^{-19} ]
Чтобы найти энергию фотона ( E_{\text{фото}} ), выразим её:
[ E_{\text{фото}} = 4,5 \cdot 10^{-20} + 7,5 \cdot 10^{-19} ]
Теперь сложим числовые значения:
Приведем к общему знаменателю:
[ 4,5 \cdot 10^{-20} = 0,045 \cdot 10^{-19} ]
Теперь сложим:
[ E_{\text{фото}} = 0,045 \cdot 10^{-19} + 7,5 \cdot 10^{-19} = 7,545 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} ]
Теперь, чтобы найти длину волны света ( \lambda ), используем связь между энергией фотона и длиной волны:
[ E_{\text{фото}} = \frac{hc}{\lambda} ]
где:
- ( h ) — постоянная Планка (( 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} )),
- ( c ) — скорость света (( 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} )).
Перепишем уравнение для длины волны:
[ \lambda = \frac{hc}{E_{\text{фото}}} ]
Теперь подставим наши значения:
[ \lambda = \frac{(6,626 \cdot 10^{-34}) \cdot (3 \cdot 10^8)}{7,545 \cdot 10^{-19}} ]
Вычислим числитель:
[ (6,626 \cdot 10^{-34}) \cdot (3 \cdot 10^8) = 1,9878 \cdot 10^{-25} \text{ Дж} \cdot \text{м} ]
Теперь разделим это значение на ( E_{\text{фото}} ):
[ \lambda = \frac{1,9878 \cdot 10^{-25}}{7,545 \cdot 10^{-19}} ]
Теперь выполним деление:
[ \lambda \approx 2,64 \cdot 10^{-7} \text{ м} ]
Или в нанометрах (1 м = ( 10^9 ) нм):
[ \lambda \approx 264 \text{ нм} ]
Таким образом, длина волны света, которым освещается поверхность металла, составляет приблизительно 264 нанометра.
