Задание 9. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда…
Задание 9. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово разберем информацию и вычислим необходимое количество акций.
Дано:
- Цены акций: 100, 200, 300, 400 и 500 рублей.
- Средняя цена акций до покупки последней акции: 288 рублей.
- Б. купил еще одну акцию за 500 рублей.
- После покупки последней акции средняя цена не достигла 320 рублей.
Обозначим переменные:
- Пусть \( n \) — количество акций до покупки последней.
- \( S \) — сумма цен акций до покупки последней.
Выражаем среднюю цену: Средняя цена акций до покупки равна 288 рублей, следовательно: \[ \frac{S}{n} = 288 \] Отсюда можно выразить сумму: \[ S = 288n \]
Количество акций после покупки: После покупки еще одной акции у акционера становится \( n + 1 \) акций, а сумма цен становится \( S + 500 \). Новая средняя цена тогда будет: \[ \frac{S + 500}{n + 1} \] Мы знаем, что эта средняя цена не достигла 320 рублей: \[ \frac{S + 500}{n + 1} < 320 \]
Подставим значение \( S \): Подставим \( S = 288n \) в неравенство: \[ \frac{288n + 500}{n + 1} < 320 \]
Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (положительное число): \[ 288n + 500 < 320(n + 1) \]
Раскроем скобки: \[ 288n + 500 < 320n + 320 \]
Переносим все в одну сторону: \[ 288n + 500 - 320n - 320 < 0 \] \[ -32n + 180 < 0 \]
Решим неравенство: \[ 180 < 32n \] \[ n > \frac{180}{32} \approx 5.625 \]
Определим минимальное целое значение \( n \): Поскольку \( n \) должно быть целым числом, минимально возможное значение — 6.
Проверим: Подставим значение \( n = 6 \): \[ S = 288 \times 6 = 1728 \, \text{рублей} \] Средняя цена до покупки: \[ \frac{1728}{6} = 288 \, \text{рублей} \] После покупки: \[ S + 500 = 1728 + 500 = 2228 \, \text{рублей} \] Новое количество акций: \[ n + 1 = 6 + 1 = 7 \] Новая средняя цена: \[ \frac{2228}{7} \approx 318.29 \, \text{рублей} \] Это меньше 320 рублей, значит условие соблюдено.
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, составляет 6 акций.
