5/(x + 1) + (4x - 6)/((x + 1)(x + 3)) = 3
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{5}{x + 1} + \frac{4x - 6}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \]
Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей \(\frac{5}{x + 1}\) и \(\frac{4x - 6}{(x + 1)(x + 3)}\) будет \((x + 1)(x + 3)\).
Теперь преобразуем первую дробь, чтобы у нее был этот общий знаменатель:
\[ \frac{5}{x + 1} = \frac{5(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 15}{(x + 1)(x + 3)} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{5x + 15}{(x + 1)(x + 3)} + \frac{4x - 6}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \]
Шаг 2: Сложим дроби
Теперь можем сложить дроби с одинаковыми знаменателями:
\[ \frac{(5x + 15) + (4x - 6)}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \]
Сложим числители:
\[ \frac{5x + 15 + 4x - 6}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{9x + 9}{(x + 1)(x + 3)} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{9x + 9}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \]
Шаг 3: Устранение дробей
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на \((x + 1)(x + 3)\):
\[ 9x + 9 = 3(x + 1)(x + 3) \]
Шаг 4: Раскрытие скобок
Теперь нужно раскрыть правую часть уравнения:
\[ 3(x + 1)(x + 3) = 3(x^2 + 3x + x + 3) = 3(x^2 + 4x + 3) = 3x^2 + 12x + 9 \]
Шаг 5: Переписываем уравнение
Теперь у нас выходит:
\[ 9x + 9 = 3x^2 + 12x + 9 \]
Перепишем уравнение, перенесем все в одну сторону:
\[ 0 = 3x^2 + 12x + 9 - 9x - 9 \]
Это упрощается до:
\[ 0 = 3x^2 + 3x \]
Шаг 6: Вынесем общий множитель
Вынесем общий множитель \(3x\):
\[ 0 = 3x(x + 1) \]
Шаг 7: Находим корни
Теперь у нас есть два фактора, и мы можем приравнять каждый из них к нулю:
- \(3x = 0 \Rightarrow x = 0\)
- \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
Шаг 8: Проверка значений
Проверяем, подходят ли найденные значения \(x\) к начальному уравнению.
- Если \(x = 0\):
\[ \frac{5}{0 + 1} + \frac{4(0) - 6}{(0 + 1)(0 + 3)} = 5 + \frac{-6}{3} = 5 - 2 = 3 \quad \text{(верно)} \]
- Если \(x = -1\):
\[ \frac{5}{-1 + 1} \quad \text{(знаменатель равен 0, не подходит)} \]
Таким образом, единственным решением уравнения является:
\[ \boxed{0} \]
