5/(x + 1) + (4x - 6)/((x + 1)(x + 3)) = 3

Давайте решим уравнение: \[ \frac{5}{x + 1} + \frac{4x - 6}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \] ### Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю Общий знаменатель для дробей \(\frac{5}{x + 1}\) и \(\frac{4x - 6}{(x + 1)(x + 3)}\) будет \((x + 1)(x + 3)\). Теперь преобразуем первую дробь, чтобы у нее был этот общий знаменатель: \[ \frac{5}{x + 1} = \frac{5(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 15}{(x + 1)(x + 3)} \] Теперь у нас есть: \[ \frac{5x + 15}{(x + 1)(x + 3)} + \frac{4x - 6}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \] ### Шаг 2: Сложим дроби Теперь можем сложить дроби с одинаковыми знаменателями: \[ \frac{(5x + 15) + (4x - 6)}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \] Сложим числители: \[ \frac{5x + 15 + 4x - 6}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{9x + 9}{(x + 1)(x + 3)} \] Теперь у нас есть: \[ \frac{9x + 9}{(x + 1)(x + 3)} = 3 \] ### Шаг 3: Устранение дробей Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на \((x + 1)(x + 3)\): \[ 9x + 9 = 3(x + 1)(x + 3) \] ### Шаг 4: Раскрытие скобок Теперь нужно раскрыть правую часть уравнения: \[ 3(x + 1)(x + 3) = 3(x^2 + 3x + x + 3) = 3(x^2 + 4x + 3) = 3x^2 + 12x + 9 \] ### Шаг 5: Переписываем уравнение Теперь у нас выходит: \[ 9x + 9 = 3x^2 + 12x + 9 \] Перепишем уравнение, перенесем все в одну сторону: \[ 0 = 3x^2 + 12x + 9 - 9x - 9 \] Это упрощается до: \[ 0 = 3x^2 + 3x \] ### Шаг 6: Вынесем общий множитель Вынесем общий множитель \(3x\): \[ 0 = 3x(x + 1) \] ### Шаг 7: Находим корни Теперь у нас есть два фактора, и мы можем приравнять каждый из них к нулю: 1. \(3x = 0 \Rightarrow x = 0\) 2. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) ### Шаг 8: Проверка значений Проверяем, подходят ли найденные значения \(x\) к начальному уравнению. 1. Если \(x = 0\): \[ \frac{5}{0 + 1} + \frac{4(0) - 6}{(0 + 1)(0 + 3)} = 5 + \frac{-6}{3} = 5 - 2 = 3 \quad \text{(верно)} \] 2. Если \(x = -1\): \[ \frac{5}{-1 + 1} \quad \text{(знаменатель равен 0, не подходит)} \] Таким образом, единственным решением уравнения является: \[ \boxed{0} \]