х²-5х-6<0
Для решения неравенства \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) мы будем следовать пошаговой процедуре.
Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения
Сначала нам нужно найти корни соответствующего уравнения:
\[ x^2 - 5x - 6 = 0. \]
Для этого можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = -5 \), и \( c = -6 \).
Шаг 2: Подставляем значения
Теперь подставим наши значения:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}. \]
Сначала расчитаем дискриминант:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49. \]
Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}. \]
Шаг 3: Находим корни
Теперь вычислим два корня:
- \( x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6, \)
- \( x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \)
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 6, \quad x_2 = -1. \]
Шаг 4: Определение интервалов
Теперь мы хотим понять, на каких интервалах значение выражения \( x^2 - 5x - 6 \) меньше нуля. Корни делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \),
- \( (-1, 6) \),
- \( (6, +\infty) \).
Шаг 5: Проверка знаков на интервалах
Теперь проверим знак выражения \( x^2 - 5x - 6 \) на каждом из этих интервалов.
На интервале \( (-\infty, -1) \): Возьмем, например, \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0. \]
На интервале \( (-1, 6) \): Возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 5(0) - 6 = -6 < 0. \]
На интервале \( (6, +\infty) \): Возьмем, например, \( x = 7 \): \[ 7^2 - 5(7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0. \]
Шаг 6: Запись решения
Таким образом, неравенство \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) выполняется на интервале \( (-1, 6) \).
Ответ:
\[ x \in (-1, 6). \]
Это означает, что любое значение \( x \) в пределах этого интервала удовлетворяет исходному неравенству.
