Х²-5х-6<0

Для решения неравенства \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) мы будем следовать пошаговой процедуре. ### Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения Сначала нам нужно найти корни соответствующего уравнения: \[ x^2 - 5x - 6 = 0. \] Для этого можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = -5 \), и \( c = -6 \). ### Шаг 2: Подставляем значения Теперь подставим наши значения: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}. \] Сначала расчитаем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49. \] Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}. \] ### Шаг 3: Находим корни Теперь вычислим два корня: 1. \( x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6, \) 2. \( x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \) Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 6, \quad x_2 = -1. \] ### Шаг 4: Определение интервалов Теперь мы хотим понять, на каких интервалах значение выражения \( x^2 - 5x - 6 \) меньше нуля. Корни делят числовую прямую на три интервала: 1. \( (-\infty, -1) \), 2. \( (-1, 6) \), 3. \( (6, +\infty) \). ### Шаг 5: Проверка знаков на интервалах Теперь проверим знак выражения \( x^2 - 5x - 6 \) на каждом из этих интервалов. 1. **На интервале \( (-\infty, -1) \):** Возьмем, например, \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0. \] 2. **На интервале \( (-1, 6) \):** Возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 5(0) - 6 = -6 < 0. \] 3. **На интервале \( (6, +\infty) \):** Возьмем, например, \( x = 7 \): \[ 7^2 - 5(7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0. \] ### Шаг 6: Запись решения Таким образом, неравенство \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) выполняется на интервале \( (-1, 6) \). ### Ответ: \[ x \in (-1, 6). \] Это означает, что любое значение \( x \) в пределах этого интервала удовлетворяет исходному неравенству.