Чтобы решить задачу, начнем с того, что нам дано: (\tan x = 2). Это означает, что отношение синуса к косинусу для данного угла (x) равно 2:
[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 2
]
Из этого отношения можем выразить (\sin x) через (\cos x):
[
\sin x = 2 \cos x
]
Теперь, поскольку мы знаем, что (\sin^2 x + \cos^2 x = 1), подставим значение (\sin x):
[
(2 \cos x)^2 + \cos^2 x = 1
]
Решим это уравнение:
[
4 \cos^2 x + \cos^2 x = 1
]
[
5 \cos^2 x = 1
]
[
\cos^2 x = \frac{1}{5}
]
Теперь мы можем найти (\sin^2 x):
[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
]
Теперь, зная значения (\sin^2 x) и (\cos^2 x), можем подставить их в заданное выражение:
[
\frac{2 - \sin^2 x}{3 + \cos^2 x}
]
Подставим значения:
[
\sin^2 x = \frac{4}{5} \quad \text{и} \quad \cos^2 x = \frac{1}{5}
]
[
\frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}} = \frac{2 - 0.8}{3 + 0.2} = \frac{1.2}{3.2}
]
Упростим дробь:
[
\frac{1.2}{3.2} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}
]
Таким образом, значение выражения (\frac{2 - \sin^2 x}{3 + \cos^2 x} = \frac{3}{8}).
Ответ: (\frac{3}{8}).
