докажи тождества

Чтобы доказать тождества, используем тригонометрические формулы и упрощаем обе стороны уравнения так, чтобы они стали равны.

а) \( 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha \)

Первый шаг — применим формулу синуса суммы: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] где \( a = \frac{\pi}{6} \), \( b = \alpha \).

\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha \]

Подставим значения: \[ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \]

Умножим всё на 2: \[ 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha \]

Тождество доказано.

б) \( 2 \cos \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha \)

Применим формулу косинуса суммы: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

\[ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6} \sin\alpha \]

Подставим значения: \[ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

Получаем: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha \]

Умножим всё на 2: \[ 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha \]

Тождество доказано.

в) \( \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha + \sin\alpha \)

Применим формулу синуса суммы: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4} \sin\alpha \]

Подставим значения: \[ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha \]

Умножим на \(\sqrt{2}\): \[ \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha + \sin\alpha \]

Тождество доказано.

г) \( 2 \sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha \)

Применим формулу синуса суммы: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3} \sin\alpha \]

Подставим значения: \[ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]

Получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha \]

Умножим всё на 2: \[ 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha \]

Тождество доказано.

д) \( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha - \sin\alpha \)

Применим формулу косинуса суммы: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha \]

Подставим значения: \[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Получаем: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha \]

Умножим на \(\sqrt{2}\): \[ \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha - \sin\alpha \]

Тождество доказано.