Докажи тождества

Чтобы доказать тождества, используем тригонометрические формулы и упрощаем обе стороны уравнения так, чтобы они стали равны. **а) \( 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha \)** Первый шаг — применим формулу синуса суммы: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] где \( a = \frac{\pi}{6} \), \( b = \alpha \). \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha \] Подставим значения: \[ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \] Умножим всё на 2: \[ 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha \] Тождество доказано. **б) \( 2 \cos \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha \)** Применим формулу косинуса суммы: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6} \sin\alpha \] Подставим значения: \[ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Получаем: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha \] Умножим всё на 2: \[ 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha \] Тождество доказано. **в) \( \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha + \sin\alpha \)** Применим формулу синуса суммы: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4} \sin\alpha \] Подставим значения: \[ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha \] Умножим на \(\sqrt{2}\): \[ \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha + \sin\alpha \] Тождество доказано. **г) \( 2 \sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha \)** Применим формулу синуса суммы: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3} \sin\alpha \] Подставим значения: \[ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] Получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha \] Умножим всё на 2: \[ 2\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha \] Тождество доказано. **д) \( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha - \sin\alpha \)** Применим формулу косинуса суммы: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4} \sin\alpha \] Подставим значения: \[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Получаем: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha \] Умножим на \(\sqrt{2}\): \[ \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\alpha - \sin\alpha \] Тождество доказано.