Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношение она ее делит

Давайте разберем задачу подробно.

У нас есть прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30°. Обозначим вершины треугольника как \( A \), \( B \) и \( C \), где \( C \) — это прямой угол, а угол \( A \) равен 30°. Следовательно, угол \( B \) будет равен \( 90° - 30° = 60° \).

Теперь нам нужно опустить высоту из точки \( A \) (угол 30°) на гипотенузу \( BC \). Обозначим точку, в которую высота падает на гипотенузу, как \( D \).

Анализ

1. Свойства прямоугольного треугольника: В треугольнике со сторонами, противоположными углам 30°, 60° и 90° длины сторон находятся в определенном соотношении:

   • Сторона, противоположная углу 30° (это сторона \( AB \)) будет равна \( x \).
   • Сторона, противоположная углу 60° (это сторона \( AC \)) будет равна \( x\sqrt{3} \).
   • Гипотенуза (сторона \( BC \)) будет равна \( 2x \).

2. Опускание высоты: Высота из вершины \( A \) на гипотенузу \( BC \) делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: \( ABD \) и \( ACD \).

3. Находим отношения: Чтобы понять, в каком отношении высота \( AD \) делит гипотенузу \( BC \), воспользуемся свойствами треугольников и треугольным соотношением:

   • В треугольнике \( ABD \) угол \( A \) равен 30°, а угол \( B \) равен 90°. Следовательно, \( \tan(30°) = \frac{h}{BD} \), где \( h \) — это высота \( AD \). Зная, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), можем выразить: \[ \frac{h}{BD} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow h = \frac{BD}{\sqrt{3}} \]

   • В треугольнике \( ACD \) угол \( A \) равен 30°, а угол \( C \) равен 90°. Мы аналогично можем выразить: \[ \tan(60°) = \frac{h}{DC} = \sqrt{3} \Rightarrow h = DC \cdot \sqrt{3} \]

4. Сравнение отрезков: Соединив, получаем два уравнения: \[ h = \frac{BD}{\sqrt{3}} \quad и \quad h = DC \cdot \sqrt{3} \] Таким образом: \[ \frac{BD}{\sqrt{3}} = DC \cdot \sqrt{3} \] Отсюда можно выразить отношение: \[ \frac{BD}{DC} = 3 \Rightarrow \frac{BD}{DC} = 3:1 \]

Заключение

Высота \( AD \) делит гипотенузу \( BC \) в отношении \( 3:1 \). Это означает, что отрезок \( BD \) в три раза длиннее отрезка \( DC \).