Для решения задачи найдем скорость и ускорение движущегося объекта, используя данное уравнение движения ( s(t) = 5t^3 - t^2 + 3t + 1 ).
Шаг 1: Найти скорость v(t)
Скорость объекта — это первая производная его положения по времени. То есть, чтобы найти скорость ( v(t) ), мы должны продифференцировать функцию ( s(t) ) по времени ( t ).
[
v(t) = \frac{ds(t)}{dt}
]
Для функции ( s(t) = 5t^3 - t^2 + 3t + 1 ), производная будет рассчитана по правилам дифференцирования:
- Производная ( 5t^3 ) равна ( 15t^2 )
- Производная ( -t^2 ) равна ( -2t )
- Производная ( 3t ) равна ( 3 )
- Производная константы ( 1 ) равна ( 0 )
Объединим все результаты:
[
v(t) = 15t^2 - 2t + 3
]
Шаг 2: Найти значение скорости в момент времени t = 2
Теперь подставим ( t = 2 ) в уравнение скорости:
[
v(2) = 15(2^2) - 2(2) + 3
]
Посчитаем:
[
v(2) = 15(4) - 4 + 3 = 60 - 4 + 3 = 59
]
Таким образом, скорость в момент времени ( t = 2 ) равна ( 59 ).
Шаг 3: Найти ускорение a(t)
Ускорение — это вторая производная положения и первая производная скорости по времени. Чтобы найти ускорение ( a(t) ), мы должны продифференцировать функцию скорости ( v(t) = 15t^2 - 2t + 3 ):
[
a(t) = \frac{dv(t)}{dt}
]
Для функции ( v(t) = 15t^2 - 2t + 3 ):
- Производная ( 15t^2 ) равна ( 30t )
- Производная ( -2t ) равна ( -2 )
- Производная ( 3 ) равна ( 0 )
Итак, получаем:
[
a(t) = 30t - 2
]
Шаг 4: Найти значение ускорения в момент времени t = 2
Теперь подставим ( t = 2 ) в уравнение ускорения:
[
a(2) = 30(2) - 2
]
Посчитаем:
[
a(2) = 60 - 2 = 58
]
Таким образом, ускорение в момент времени ( t = 2 ) равняется ( 58 ).
Ответ:
- Скорость ( v ) в момент времени ( t = 2 ) равна ( 59 ).
- Ускорение ( a ) в момент времени ( t = 2 ) равно ( 58 ).
