зная закон движения s(t) = 5t³-t²+3t+1 . Найдите скорость v и ускорение a в момент времени t = 2

Для решения задачи найдем скорость и ускорение движущегося объекта, используя данное уравнение движения \( s(t) = 5t^3 - t^2 + 3t + 1 \).

Шаг 1: Найти скорость v(t)

Скорость объекта — это первая производная его положения по времени. То есть, чтобы найти скорость \( v(t) \), мы должны продифференцировать функцию \( s(t) \) по времени \( t \).

\[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \]

Для функции \( s(t) = 5t^3 - t^2 + 3t + 1 \), производная будет рассчитана по правилам дифференцирования:

• Производная \( 5t^3 \) равна \( 15t^2 \)
• Производная \( -t^2 \) равна \( -2t \)
• Производная \( 3t \) равна \( 3 \)
• Производная константы \( 1 \) равна \( 0 \)

Объединим все результаты:

\[ v(t) = 15t^2 - 2t + 3 \]

Шаг 2: Найти значение скорости в момент времени t = 2

Теперь подставим \( t = 2 \) в уравнение скорости:

\[ v(2) = 15(2^2) - 2(2) + 3 \]

Посчитаем:

\[ v(2) = 15(4) - 4 + 3 = 60 - 4 + 3 = 59 \]

Таким образом, скорость в момент времени \( t = 2 \) равна \( 59 \).

Шаг 3: Найти ускорение a(t)

Ускорение — это вторая производная положения и первая производная скорости по времени. Чтобы найти ускорение \( a(t) \), мы должны продифференцировать функцию скорости \( v(t) = 15t^2 - 2t + 3 \):

\[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \]

Для функции \( v(t) = 15t^2 - 2t + 3 \):

• Производная \( 15t^2 \) равна \( 30t \)
• Производная \( -2t \) равна \( -2 \)
• Производная \( 3 \) равна \( 0 \)

Итак, получаем:

\[ a(t) = 30t - 2 \]

Шаг 4: Найти значение ускорения в момент времени t = 2

Теперь подставим \( t = 2 \) в уравнение ускорения:

\[ a(2) = 30(2) - 2 \]

Посчитаем:

\[ a(2) = 60 - 2 = 58 \]

Таким образом, ускорение в момент времени \( t = 2 \) равняется \( 58 \).

Ответ:

• Скорость \( v \) в момент времени \( t = 2 \) равна \( 59 \).
• Ускорение \( a \) в момент времени \( t = 2 \) равно \( 58 \).