Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Шаг 1: Найти центр окружности
У нас есть уравнение окружности:
[ x^2 + y^2 - 6x - 10y - 15 = 0 ]
Чтобы найти центр окружности, нужно преобразовать это уравнение в стандартный вид:
[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ]
где ((h, k)) — это координаты центра окружности, а (r) — радиус.
Для этого сначала сгруппируем (x) и (y):
Переместим свободный член на правую сторону:
[ x^2 - 6x + y^2 - 10y = 15 ]
Теперь нужно завершить квадрат для (x) и (y):
Для (x^2 - 6x):
Чтобы завершить квадрат, берем половину от (-6) (что равно (-3)), квадратим и добавляем:
[ -3^2 = 9 ]
Добавляем 9 с обеих сторон:
[ x^2 - 6x + 9 ]
Для (y^2 - 10y):
Половина от (-10) (что равно (-5)), квадратим:
[ -5^2 = 25 ]
Добавляем 25 с обеих сторон:
[ y^2 - 10y + 25 ]
Теперь запишем уравнение так:
[
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 15 + 9 + 25
]
[
(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 49
]
Таким образом, мы получаем центр окружности ((h, k) = (3, 5)) и радиус (r = 7).
Шаг 2: Определить наклон直ой
У нас уже дано уравнение линии:
[ y = 2.3x - 8.7 ]
Из этого уравнения мы видим, что коэффициент при (x) (то есть 2.3) — это наклон (угловой коэффициент) этой прямой. Прямые с одинаковым угловым коэффициентом параллельны друг другу.
Шаг 3: Составить уравнение параллельной полосы
Поскольку мы ищем прямую, параллельную данной, она будет иметь такой же наклон (2.3) и проходить через точку центра окружности ((3, 5)).
Теперь мы можем использовать уравнение прямой в общем виде:
[ y - y_0 = m(x - x_0) ]
где ((x_0, y_0)) — это точка, через которую проходит прямая, а (m) — угловой коэффициент (в нашем случае (m = 2.3)).
Подставляем ((x_0, y_0) = (3, 5)):
[ y - 5 = 2.3(x - 3) ]
Теперь раскроем скобки:
[ y - 5 = 2.3x - 6.9 ]
Шаг 4: Привести к стандартному виду
Теперь добавим 5 к обеим сторонам:
[ y = 2.3x - 6.9 + 5 ]
[ y = 2.3x - 1.9 ]
Ответ
Итак, уравнение прямой, параллельной прямой (y = 2.3x - 8.7) и проходящей через центр окружности, будет:
[ y = 2.3x - 1.9 ]
Если у вас остались вопросы или нужны уточнения по какому-то шагу, не стесняйтесь спрашивать!
