Сколько целых чисел среди членов последовательности an=1+32/n+2

Решим задачу, определяя целые числа в последовательности, заданной формулой \( a_n = 1 + \frac{32}{n} + 2 \).

Шаг 1: Упростим выражение

Посмотрим сначала на равенство: \[ a_n = 1 + \frac{32}{n} + 2 = 3 + \frac{32}{n} \] Теперь мы видим, что \( a_n \) зависит от \( n \).

Шаг 2: Определение целого числа

Чтобы \( a_n \) было целым числом, дробь \( \frac{32}{n} \) также должна быть целым числом. Это возможно, если \( n \) является делителем числа 32.

Шаг 3: Найдем делители числа 32

Число 32 можно представить как \( 2^5 \). Делителями 32 являются: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32 \]

Шаг 4: Подстановка делителей

Теперь подставим все делители \( n \) в формулу \( a_n \) и посмотрим, какие значения мы получим:

1. \( n = 1 \): \[ a_1 = 3 + \frac{32}{1} = 35 \]
2. \( n = -1 \): \[ a_{-1} = 3 + \frac{32}{-1} = -29 \]
3. \( n = 2 \): \[ a_2 = 3 + \frac{32}{2} = 19 \]
4. \( n = -2 \): \[ a_{-2} = 3 + \frac{32}{-2} = -13 \]
5. \( n = 4 \): \[ a_4 = 3 + \frac{32}{4} = 11 \]
6. \( n = -4 \): \[ a_{-4} = 3 + \frac{32}{-4} = -5 \]
7. \( n = 8 \): \[ a_8 = 3 + \frac{32}{8} = 7 \]
8. \( n = -8 \): \[ a_{-8} = 3 + \frac{32}{-8} = -1 \]
9. \( n = 16 \): \[ a_{16} = 3 + \frac{32}{16} = 5 \]
10. \( n = -16 \): \[ a_{-16} = 3 + \frac{32}{-16} = 1 \]
11. \( n = 32 \): \[ a_{32} = 3 + \frac{32}{32} = 4 \]
12. \( n = -32 \): \[ a_{-32} = 3 + \frac{32}{-32} = 2 \]

Шаг 5: Итоговые значения

Теперь мы видим, что при всех этих подстановках \( a_n \) принимает целые значения. Все полученные значения (35, -29, 19, -13, 11, -5, 7, -1, 5, 1, 4, 2) являются целыми числами.

Шаг 6: Подсчет целых чисел

Таким образом, мы нашли 12 целых чисел среди членов последовательности \( a_n \).

Ответ: 12 целых чисел.