3. Найти стороны прямоугольного треугольника, если его периметр равен 99,4 см, один из катетов на 15,4 см больше другого, а один из острых углов 30°. 4. Высоты, проведенные к…

Задача 3: Прямоугольный треугольник

Дано:

• Периметр \( P = 99.4 \, \text{см} \)
• Один из катетов на \( 15.4 \, \text{см} \) больше другого
• Острый угол \( A = 30° \)

Обозначим стороны:

• \( a \) — один катет (меньший)
• \( b \) — другой катет (больший, \( b = a + 15.4 \))
• \( c \) — гипотенуза

Шаг 1: Запишем уравнение для периметра.
Периметр треугольника равен сумме всех сторон:
\[ P = a + b + c \] Подставим \( b \):
\[ 99.4 = a + (a + 15.4) + c \implies 99.4 = 2a + 15.4 + c \] Упростим уравнение:
\[ c = 99.4 - 2a - 15.4 \implies c = 84 - 2a \]

Шаг 2: Используем теорему Пифагора.
Для прямоугольного треугольника:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим \( b \):
\[ c^2 = a^2 + (a + 15.4)^2 \]

Шаг 3: Раскроем скобки и подставим \( c \).
\[ c = 84 - 2a \implies (84 - 2a)^2 = a^2 + (a + 15.4)^2 \] Теперь раскроем каждую сторону.
\[ (84 - 2a)^2 = 7056 - 336a + 4a^2 \] \[ (a + 15.4)^2 = a^2 + 30.8a + 237.16 \] Подставляем в уравнение: \[ 7056 - 336a + 4a^2 = a^2 + 30.8a + 237.16 \] Упрощаем: \[ 7056 - 336a + 4a^2 - a^2 - 30.8a - 237.16 = 0 \] \[ 3a^2 - 366.8a + 6818.84 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-366.8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6818.84 \] \[ D = 134,195.44 - 81,225.12 = 52,970.32 \] Находим \( a \): \[ a = \frac{366.8 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} \] Теперь подставим и найдем \( a \). Затем используем найденное значение \( a \) для нахождения \( b \) и \( c \).

Задача 4: Остроугольный равнобедренный треугольник

Дано:

• Угол \( BMC = 140° \)

Используем свойства треугольника:

1. Так как треугольник равнобедренный, углы \( A \) и \( C \) равны.
2. Угол \( CMB = 180° - 140° = 40° \).
3. Угол \( A = C \), поэтому угол \( A + угол C + угол BMC = 180° \).

Обозначим угол \( A \) как \( x \): \[ x + x + 140° = 180° \] \[ 2x = 40° \implies x = 20° \]

Ответы:

• Углы треугольника: \( A = 20° \), \( B = 140° \), \( C = 20° \).