3. Найти стороны прямоугольного треугольника, если его периметр равен 99,4 см, один из катетов на 15,4 см больше другого, а один из острых углов 30°. 4. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

### Задача 3: Прямоугольный треугольник **Дано:** - Периметр \( P = 99.4 \, \text{см} \) - Один из катетов на \( 15.4 \, \text{см} \) больше другого - Острый угол \( A = 30° \) **Обозначим стороны:** - \( a \) — один катет (меньший) - \( b \) — другой катет (больший, \( b = a + 15.4 \)) - \( c \) — гипотенуза **Шаг 1: Запишем уравнение для периметра.** Периметр треугольника равен сумме всех сторон: \[ P = a + b + c \] Подставим \( b \): \[ 99.4 = a + (a + 15.4) + c \implies 99.4 = 2a + 15.4 + c \] Упростим уравнение: \[ c = 99.4 - 2a - 15.4 \implies c = 84 - 2a \] **Шаг 2: Используем теорему Пифагора.** Для прямоугольного треугольника: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим \( b \): \[ c^2 = a^2 + (a + 15.4)^2 \] **Шаг 3: Раскроем скобки и подставим \( c \).** \[ c = 84 - 2a \implies (84 - 2a)^2 = a^2 + (a + 15.4)^2 \] Теперь раскроем каждую сторону. \[ (84 - 2a)^2 = 7056 - 336a + 4a^2 \] \[ (a + 15.4)^2 = a^2 + 30.8a + 237.16 \] Подставляем в уравнение: \[ 7056 - 336a + 4a^2 = a^2 + 30.8a + 237.16 \] Упрощаем: \[ 7056 - 336a + 4a^2 - a^2 - 30.8a - 237.16 = 0 \] \[ 3a^2 - 366.8a + 6818.84 = 0 \] **Шаг 4: Решим квадратное уравнение.** Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-366.8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6818.84 \] \[ D = 134,195.44 - 81,225.12 = 52,970.32 \] Находим \( a \): \[ a = \frac{366.8 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} \] Теперь подставим и найдем \( a \). Затем используем найденное значение \( a \) для нахождения \( b \) и \( c \). ### Задача 4: Остроугольный равнобедренный треугольник **Дано:** - Угол \( BMC = 140° \) **Используем свойства треугольника:** 1. Так как треугольник равнобедренный, углы \( A \) и \( C \) равны. 2. Угол \( CMB = 180° - 140° = 40° \). 3. Угол \( A = C \), поэтому угол \( A + угол C + угол BMC = 180° \). Обозначим угол \( A \) как \( x \): \[ x + x + 140° = 180° \] \[ 2x = 40° \implies x = 20° \] **Ответы:** - Углы треугольника: \( A = 20° \), \( B = 140° \), \( C = 20° \).