(x^2 + 2x - 3) log_2x-1(4x^2 - 11x + 7) ≤ 0

Чтобы решить неравенство \((x^2 + 2x - 3) \log_2(x) - 1 (4x^2 - 11x + 7) \leq 0\), будем следовать пошагово.

Шаг 1: Упрощение неравенства

Запишем неравенство в более удобной форме: \[ (x^2 + 2x - 3) \log_2(x) - (4x^2 - 11x + 7) \leq 0 \] Или: \[ (x^2 + 2x - 3) \log_2(x) \leq 4x^2 - 11x + 7 \]

Шаг 2: Решение логарифмической части

Неравенство содержит логарифм, и чтобы работать с логарифмическими функциями, нужно помнить, что аргумент \(\log_2(x)\) должен быть больше 0, то есть \(x > 1\).

При этом, важно выяснить, какое значение принимает \(x\) в \((x^2 + 2x - 3)\): Сначала, найдём корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Таким образом, \(x^2 + 2x - 3\) меняет знак в точках \(x = -3\) и \(x = 1\).

Шаг 3: Определение знака функции

Проведем анализ знаков на интервалах:

1. \(x < -3\): \((x^2 + 2x - 3) > 0\)
2. \(-3 < x < 1\): \((x^2 + 2x - 3) < 0\)
3. \(x = 1\): \((x^2 + 2x - 3) = 0\)
4. \(x > 1\): \((x^2 + 2x - 3) > 0\)

Шаг 4: Исследование правой части

Теперь найдем корни уравнения \(4x^2 - 11x + 7 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 121 - 112 = 9 \] Корни: \[ x_1 = \frac{11 + 3}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75 \] \[ x_2 = \frac{11 - 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] Таким образом, \(4x^2 - 11x + 7\) меняет знак в точках \(x = 1\) и \(x = 1.75\).

Шаг 5: Нахождение общей области определения

Объединим обе части:

• Для \(x \leq 1\), \(x^2 + 2x - 3 \leq 0\).
• Для \(x > 1\), нужно учитывать \(4x^2 - 11x + 7\).

Шаг 6: Подбор значений

Сравним на интервале \(1 < x < 1.75\):

• Подберем значение \(x = 1.5\): \[ (x^2 + 2x - 3) = (1.5^2 + 2 \cdot 1.5 - 3) = 0.75 \] \[ (4x^2 - 11x + 7) = (4(1.5^2) - 11(1.5) + 7) = -2.5 \] Полное неравенство становится положительным.

Шаг 7: Заключение

Итак, на интервале:

• \(x < 1\): не подходит, \(x = 1\) - равенство.
• \(x = 1.5\): положительно.
• \(x = 1.75\): проверим: \[ (1.75^2 + 2*1.75 - 3) > 0, (4(1.75^2) - 11*1.75 + 7) < 0. \] Неравенство выполняется для \(x = 1\), но при уровне \(1.75\) уже не выполняется.

Ответ: \(x \leq 1\) и \((1 < x < 1.75)\). Обе части нужно объединить, \(x = 1\).

Итог

Решение неравенства: \[ x \in [1, 1.75) \]

Это окончательный результат. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!