3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника

Для решения задачи мы будем использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрию.

1. Обозначим стороны:
   В прямоугольном треугольнике, в котором один угол равен 60°, мы обозначим гипотенузу как \( c \), меньший катет как \( a \) и больший катет (прилежащий к углу 60°) как \( b \).

2. Сумма сторон:
   По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см: \[ c + a = 42 \]

3. Тригонометрические соотношения:
   В прямоугольном треугольнике с углом 60° используются следующие отношения:

   • Синус угла 60°: \[ \sin(60°) = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
   • Косинус угла 60°: \[ \cos(60°) = \frac{b}{c} = \frac{1}{2} \]

   Из первого уравнения можно выразить меньший катет \( a \): \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

4. Подставляем \( a \) в уравнение суммы:
   Теперь подставим значение \( a \) в уравнение суммы: \[ c + \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} = 42 \]

5. Решим это уравнение:
   Приведем все слагаемые к общему знаменателю: \[ \frac{2c + c\sqrt{3}}{2} = 42 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 2c + c\sqrt{3} = 84 \] Вынесем \( c \) за скобки: \[ c(2 + \sqrt{3}) = 84 \] Теперь выразим \( c \): \[ c = \frac{84}{2 + \sqrt{3}} \]

6. Упростим выражение с дробью:
   Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: \[ c = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{84(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 84(2 - \sqrt{3}) \]

7. Вычислим значение:
   Теперь подставим числовое значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ c \approx 84(2 - 1.732) \approx 84 \cdot 0.268 \approx 22.5 \text{ см} \]

8. Ответ:
   Таким образом, гипотенуза треугольника примерно равна \( 22.5 \) см.

Это решение показывает, как использовать тригонометрию и свойства прямоугольных треугольников для нахождения сторон треугольника.