В амфитеатре 20 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 36 мест, а в одиннадцатом ряду 52 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Для решения задачи рассмотрим последовательность, описывающую количество мест в рядах амфитеатра. 1. **Определение параметров:** Мы знаем, что в седьмом ряду 36 мест, а в одиннадцатом ряду 52 места. Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый следующий ряд имеет на одно и то же количество мест больше, чем предыдущий. 2. **Обозначим переменные:** Пусть \( a \) — это количество мест в первом ряду, а \( d \) — это разность между количеством мест в последовательных рядах. Тогда общее количество мест в \( n \)-том ряду можно записать как: \[ a_n = a + (n - 1)d \] Таким образом, для седьмого ряда (\( n = 7 \)): \[ a_7 = a + 6d = 36 \quad (1) \] Для одиннадцатого ряда (\( n = 11 \)): \[ a_{11} = a + 10d = 52 \quad (2) \] 3. **Система уравнений:** Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ a + 6d = 36 \quad (1) \] \[ a + 10d = 52 \quad (2) \] 4. **Вычтем (1) из (2):** Решим систему, вычитая первое уравнение из второго: \[ (a + 10d) - (a + 6d) = 52 - 36 \] Упрощая, получаем: \[ 4d = 16 \] Следовательно: \[ d = 4 \] 5. **Подставим \( d \) в одно из уравнений:** Подставим \( d \) в первое уравнение для нахождения \( a \): \[ a + 6 \cdot 4 = 36 \] \[ a + 24 = 36 \] \[ a = 12 \] 6. **Общая формула для количества мест в любом ряду:** Теперь мы можем записать формулу для количества мест в любом ряду: \[ a_n = 12 + (n - 1) \cdot 4 \] 7. **Нахождение количества мест в последнем ряду (20-ом):** Подставляем \( n = 20 \): \[ a_{20} = 12 + (20 - 1) \cdot 4 \] \[ a_{20} = 12 + 19 \cdot 4 \] \[ a_{20} = 12 + 76 \] \[ a_{20} = 88 \] Таким образом, количество мест в последнем ряду амфитеатра составляет 88.