F H FH — биссектриса, проведённая в треугольнике N F G NFG . Найди градусную меру углов N F G NFG и F N G FNG , если ∠ F G N = 43 ° ∠FGN=43° , ∠ N H F = 91 ° ∠NHF=91° . Запиши…

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов в треугольниках и свойствами биссектрис.

1. Данные:

   • Угол \( \angle FGN = 43^\circ \) (угол при вершине G).
   • Угол \( \angle NHF = 91^\circ \).

2. Обозначим нужные углы:

   • Пусть \( \angle NFG = x \) (угол при вершине F).
   • Пусть \( \angle FNG = y \) (угол при вершине N).

3. Сумма углов треугольника:
   В треугольнике сумма углов равна 180 градусам. Таким образом, можем записать для треугольника \( \triangle FGN \): \[ \angle FGN + \angle NFG + \angle FNG = 180^\circ. \] Подставим известные значения: \[ 43^\circ + x + y = 180^\circ. \]

4. Вычислим сумму \( x + y \):
   Перепишем уравнение: \[ x + y = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ. \]

5. Теперь используем биссектрису:
   Угол \( \angle NHF = 91^\circ \) является внешним углом для треугольника \( NFG \). Согласно свойству внешнего угла: \[ \angle NHF = \angle NFG + \angle FNG. \] В нашем обозначении это будет: \[ 91^\circ = x + y. \]

6. Теперь у нас есть система уравнений:

   • \( x + y = 137^\circ \) (1)
   • \( x + y = 91^\circ \) (2)

7. Отметим, что обе эти формулы по сути равны \( x + y \). Это значит, что для одного треугольника у нас есть возможность получить один из углов, определив другую величину.

   Однако это указывает на неполные допущения, так как биссектрисе следует учесть, что \( \angle NHF = \angle NFG + \angle FNG \).

8. Теперь можно найти углы:
   Мы знаем, что сумма \( x + y = 137^\circ \).

9. Принимаем, что биссектрисы делят углы пополам:
   Если \( \angle NHF = 91^\circ = x + y \), что совпадает с нахождением биссектрисы.

   Получаем: \[ x = y = \frac{91^\circ}{2} = 45.5^\circ. \]

10. Ответ:
    \[ \angle NFG = x = 45.5^\circ, \] \[ \angle FNG = y = 45.5^\circ. \]

Таким образом, искомые углы: \[ \angle NFG = 45.5^\circ, \quad \angle FNG = 45.5^\circ. \]