Найдите значение производной функции в точке x_{0} если y = sqrt(11 - 5x) x_{0} = - 1
Чтобы найти значение производной функции \( y = \sqrt{11 - 5x} \) в точке \( x_0 = -1 \), выполните следующие шаги.
Шаг 1: Находим производную функции
Для начала нам нужно найти производную \( y \). Мы будем использовать правило дифференцирования для функций вида \( \sqrt{u} \), где \( u \) — это функция от \( x \). Правило гласит, что:
\[ \frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \]
В нашем случае \( u = 11 - 5x \).
Теперь найдем производную \( u \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(11 - 5x) = -5 \]
Теперь применим правило для нахождения производной \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \sqrt{11 - 5x} = \frac{1}{2\sqrt{11 - 5x}} \cdot (-5) \]
Итак, производная функции:
\[ y' = -\frac{5}{2\sqrt{11 - 5x}} \]
Шаг 2: Находим значение производной в точке \( x_0 = -1 \)
Теперь мы хотим вычислить \( y' \) в точке \( x = -1 \).
- Подставьте \( x = -1 \) в уравнение производной:
\[ y'(-1) = -\frac{5}{2\sqrt{11 - 5(-1)}} \]
- Упростим выражение в квадратном корне:
\[ 11 - 5(-1) = 11 + 5 = 16 \]
Таким образом, подставляем это значение в производную:
\[ y'(-1) = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8} \]
Ответ
Таким образом, значение производной функции \( y = \sqrt{11 - 5x} \) в точке \( x_0 = -1 \) равно:
\[ y'(-1) = -\frac{5}{8} \]
