Чтобы найти значение производной функции ( y = \sqrt{11 - 5x} ) в точке ( x_0 = -1 ), выполните следующие шаги.
Шаг 1: Находим производную функции
Для начала нам нужно найти производную ( y ). Мы будем использовать правило дифференцирования для функций вида ( \sqrt{u} ), где ( u ) — это функция от ( x ). Правило гласит, что:
[
\frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}
]
В нашем случае ( u = 11 - 5x ).
Теперь найдем производную ( u ):
[
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(11 - 5x) = -5
]
Теперь применим правило для нахождения производной ( y ):
[
y' = \frac{d}{dx} \sqrt{11 - 5x} = \frac{1}{2\sqrt{11 - 5x}} \cdot (-5)
]
Итак, производная функции:
[
y' = -\frac{5}{2\sqrt{11 - 5x}}
]
Шаг 2: Находим значение производной в точке ( x_0 = -1 )
Теперь мы хотим вычислить ( y' ) в точке ( x = -1 ).
- Подставьте ( x = -1 ) в уравнение производной:
[
y'(-1) = -\frac{5}{2\sqrt{11 - 5(-1)}}
]
- Упростим выражение в квадратном корне:
[
11 - 5(-1) = 11 + 5 = 16
]
Таким образом, подставляем это значение в производную:
[
y'(-1) = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}
]
Ответ
Таким образом, значение производной функции ( y = \sqrt{11 - 5x} ) в точке ( x_0 = -1 ) равно:
[
y'(-1) = -\frac{5}{8}
]
