Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Гипотенуза ( c = 13 ) см.
- Один катет ( a ) больше другого катета ( b ) на 7 см: ( a = b + 7 ).
Необходимые уравнения:
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется следующее уравнение:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подстановка значений:
Подставим значение гипотенузы в уравнение Пифагора:
[
a^2 + b^2 = 13^2
]
[
a^2 + b^2 = 169
]
Подставим выражение для ( a ) в это уравнение:
- Из условия ( a = b + 7 ):
[
(b + 7)^2 + b^2 = 169
]
Раскроем скобки и упростим:
[
(b^2 + 14b + 49) + b^2 = 169
]
[
2b^2 + 14b + 49 = 169
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
2b^2 + 14b + 49 - 169 = 0
]
[
2b^2 + 14b - 120 = 0
]
Упростим:
Разделим всё уравнение на 2:
[
b^2 + 7b - 60 = 0
]
Найдем корни уравнения:
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}
]
где ( A = 1 ), ( B = 7 ), ( C = -60 ).
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[
D = B^2 - 4AC = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289
]
Теперь вычислим корни:
[
b = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2}
]
Вычислим корни:
Первый корень:
[
b_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5
]
Второй корень:
[
b_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12 , (\text{не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной})
]
Находим значение катетов:
Теперь знаем, что ( b = 5 ). Найдем ( a ):
[
a = b + 7 = 5 + 7 = 12
]
Ответ:
Катеты прямоугольного треугольника:
- Катет ( a = 12 ) см
- Катет ( b = 5 ) см
Таким образом, мы нашли катеты. Если у вас есть еще вопросы или требуется дополнительная помощь, обращайтесь!
