Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 сантиметров один из катетов на 7 сантиметров больше другого Найдите катеты прямоугольного треугольника, с помощью системы уравнения
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Гипотенуза \( c = 13 \) см.
- Один катет \( a \) больше другого катета \( b \) на 7 см: \( a = b + 7 \).
Необходимые уравнения:
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется следующее уравнение: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подстановка значений:
Подставим значение гипотенузы в уравнение Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 13^2 \] \[ a^2 + b^2 = 169 \]
Подставим выражение для \( a \) в это уравнение:
- Из условия \( a = b + 7 \): \[ (b + 7)^2 + b^2 = 169 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ (b^2 + 14b + 49) + b^2 = 169 \] \[ 2b^2 + 14b + 49 = 169 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ 2b^2 + 14b + 49 - 169 = 0 \] \[ 2b^2 + 14b - 120 = 0 \]
Упростим:
Разделим всё уравнение на 2: \[ b^2 + 7b - 60 = 0 \]
Найдем корни уравнения:
Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \] где \( A = 1 \), \( B = 7 \), \( C = -60 \).
Сначала найдем дискриминант \( D \): \[ D = B^2 - 4AC = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \]
Теперь вычислим корни: \[ b = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2} \]
Вычислим корни:
Первый корень: \[ b_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
Второй корень: \[ b_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \, (\text{не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной}) \]
Находим значение катетов:
Теперь знаем, что \( b = 5 \). Найдем \( a \): \[ a = b + 7 = 5 + 7 = 12 \]
Ответ:
Катеты прямоугольного треугольника:
- Катет \( a = 12 \) см
- Катет \( b = 5 \) см
Таким образом, мы нашли катеты. Если у вас есть еще вопросы или требуется дополнительная помощь, обращайтесь!
