Задача № 2 Основание пирамиды MABCD - квадрат, боковые грани ADM И CDM перпендикулярны плоскости основания пирамиды, MD = 12 см, MA = 15 см. Найдите площадь боковой поверхности…

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды MABCD, где основание — квадрат, а боковые грани ADM и CDM перпендикулярны плоскости основания, сначала необходимо рассмотреть геометрию данной фигуры.

Шаг 1: Определение сторон основания

Пусть основание MABCD имеет стороны длиной a. Так как это квадрат, стороны MA и MB равны:

• MD = 12 см, это высота грани ADM.
• MA = 15 см — это длина от вершины M до точки A.

Шаг 2: Находим длину стороны основания

Сначала найдем длину стороны квадрата AB (она равна стороне основания и обозначена как a). Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AMD. В этом треугольнике:

• AM = 15 см (длина от M до A),
• AD = a (сторона квадрата).

С учетом того, что AO — это половина стороны квадрата, где O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей), можно записать:

\[ AO = \frac{a}{2} \]

Теперь мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:

\[ MD^2 + AO^2 = AM^2 \]

Подставляя известные значения:

\[ 12^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 15^2 \]

\[ 144 + \frac{a^2}{4} = 225 \]

Вычитаем 144 из обеих сторон:

\[ \frac{a^2}{4} = 225 - 144 \]

\[ \frac{a^2}{4} = 81 \]

Умножаем на 4, чтобы избавиться от деления:

\[ a^2 = 324 \]

Находим сторону a:

\[ a = \sqrt{324} = 18 \text{ см} \]

Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из двух треугольников: \( \triangle ADM \) и \( \triangle CDM \). Площадь каждого из них можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

Площадь треугольника \( ADM \):

• Основание \( AD = a = 18 \text{ см} \)
• Высота \( MD = 12 \text{ см} \)

Площадь треугольника \( S_{ADM} \):

\[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = \frac{1}{2} \times 216 = 108 \text{ см}^2 \]

Площадь треугольника \( CDM \):

Так как треугольник \( CDM \) аналогичен треугольнику \( ADM \), его площадь будет такой же:

\[ S_{CDM} = 108 \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Находим полную площадь боковой поверхности

Теперь найдем полную площадь боковой поверхности, складывая площади треугольников:

\[ S_{боковой} = S_{ADM} + S_{CDM} = 108 + 108 = 216 \text{ см}^2 \]

Ответ

Площадь боковой поверхности пирамиды MABCD составляет 216 см².