Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды MABCD, где основание — квадрат, а боковые грани ADM и CDM перпендикулярны плоскости основания, сначала необходимо рассмотреть геометрию данной фигуры.
Шаг 1: Определение сторон основания
Пусть основание MABCD имеет стороны длиной a. Так как это квадрат, стороны MA и MB равны:
- MD = 12 см, это высота грани ADM.
- MA = 15 см — это длина от вершины M до точки A.
Шаг 2: Находим длину стороны основания
Сначала найдем длину стороны квадрата AB (она равна стороне основания и обозначена как a). Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AMD. В этом треугольнике:
- AM = 15 см (длина от M до A),
- AD = a (сторона квадрата).
С учетом того, что AO — это половина стороны квадрата, где O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей), можно записать:
[ AO = \frac{a}{2} ]
Теперь мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:
[
MD^2 + AO^2 = AM^2
]
Подставляя известные значения:
[
12^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 15^2
]
[
144 + \frac{a^2}{4} = 225
]
Вычитаем 144 из обеих сторон:
[
\frac{a^2}{4} = 225 - 144
]
[
\frac{a^2}{4} = 81
]
Умножаем на 4, чтобы избавиться от деления:
[
a^2 = 324
]
Находим сторону a:
[
a = \sqrt{324} = 18 \text{ см}
]
Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из двух треугольников: ( \triangle ADM ) и ( \triangle CDM ). Площадь каждого из них можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
]
Площадь треугольника ( ADM ):
- Основание ( AD = a = 18 \text{ см} )
- Высота ( MD = 12 \text{ см} )
Площадь треугольника ( S_{ADM} ):
[
S_{ADM} = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = \frac{1}{2} \times 216 = 108 \text{ см}^2
]
Площадь треугольника ( CDM ):
Так как треугольник ( CDM ) аналогичен треугольнику ( ADM ), его площадь будет такой же:
[
S_{CDM} = 108 \text{ см}^2
]
Шаг 4: Находим полную площадь боковой поверхности
Теперь найдем полную площадь боковой поверхности, складывая площади треугольников:
[
S_{боковой} = S_{ADM} + S_{CDM} = 108 + 108 = 216 \text{ см}^2
]
Ответ
Площадь боковой поверхности пирамиды MABCD составляет 216 см².
