3. На сторонах AB AD квадрата ABCD выбраны точки E и F соответственно так, что угол AEF=50° и угол FCD=20°. Найдите угол ECF.

Чтобы решить задачу, начнем с построения квадрата ABCD и отметим точки E и F на сторонах AB и AD соответственно.

1. Построение квадрата:

   • Пусть A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) — координаты вершин квадрата ABCD.
   • Поскольку точки E и F находятся на сторонах AB и AD, соответственно:
     • Точка E лежит на отрезке AB, а значит её координаты можно обозначить как E(x_E, 0) где 0 ≤ x_E ≤ 1.
     • Точка F лежит на отрезке AD, а значит её координаты можно обозначить как F(0, y_F) где 0 ≤ y_F ≤ 1.

2. Углы:

   • Угол AEF = 50° означает, что линия AE образует угол 50° с линией EF.
   • Угол FCD = 20° означает, что линия FC образует угол 20° с линией CD.

3. Нахождение угла ECF:

   • Чтобы найти угол ECF, можем использовать свойства углов.
   • Известно, что сумма углов в треугольнике AEF равна 180°. Таким образом:

   \[ \angle AEF + \angle AFE + \angle EAF = 180° \]

   Обозначим угол AFE как \( x \): \[ 50° + x + \angle EAF = 180° \]

   Так как \( \angle EAF \) — это угол между EA и AB, он равен 90° (так как квадрат имеет угол 90°): \[ 50° + x + 90° = 180° \] \[ x = 180° - 140° = 40° \]

   Таким образом, угол AFE составляет 40°.

4. Теперь можем найти угол ECF:

   • В треугольнике FCD также имеем: \[ 20° + \angle FCD + \angle CFD = 180° \] Обозначим угол CFD как \( y \): \[ 20° + y + 90° = 180° \] \[ y = 180° - 110° = 70° \]

5. Угол ECF: Данные углы можно использовать для нахождения угла ECF. Заметим, что: \[ \angle ECF = \angle AEF + \angle FCD \] Где:

   • \( ECF = 40° + 20° = 60° \)

Таким образом, угол ECF равен 60°.

Итак, окончательный ответ: Угол ECF = 60°.