Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи мы будем работать с квадратичной функцией, которая описывает зависимость поступлений бюджета от ставки налога.
- Определение функции: Мы знаем, что зависимость поступлений \( P \) от ставки налога \( x \) имеет вид:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a, b, c \) — это коэффициенты, которые нам необходимо определить.
Сбор данных: Из задачи у нас есть три точки:
- При \( x = 10 \), \( P = 1.3 \) млрд
- При \( x = 33 \), \( P = 1.3 \) млрд
- При \( x = 27 \), \( P = 1.6 \) млрд
Запись уравнений: Мы можем записать три уравнения на основе вышеуказанных данных:
\[ \begin{align*} 1. & \quad 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \quad (1) \\ 2. & \quad 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \quad (2) \\ 3. & \quad 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \quad (3) \\ \end{align*} \]
- Подстановка значений:
Теперь подставим значения:
- Уравнение (1):
\[ 1.3 = 100a + 10b + c \]
- Уравнение (2):
\[ 1.3 = 1089a + 33b + c \]
- Уравнение (3):
\[ 1.6 = 729a + 27b + c \]
- Система уравнений:
Мы можем упростить систему, вычитая уравнения друг из друга. Например, вычтем (1) из (2):
\[ 0 = (1089 - 100)a + (33 - 10)b \implies 0 = 989a + 23b \quad (4) \]
Теперь вычтем (1) из (3):
\[ 0.3 = (729 - 100)a + (27 - 10)b \implies 0.3 = 629a + 17b \quad (5) \]
- Решение системы:
Теперь у нас есть две уравнения (4) и (5):
\( 989a + 23b = 0 \)
\( 629a + 17b = 0.3 \)
Решим систему, выразив \( b \) через \( a \) из первого уравнения:
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \]
Упрощая, получаем:
\[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \]
Умножаем все на 23 для удобства:
\[ 14467a - 16813a = 6.9 \]
Это позволяет нам найти \( a \):
\[ -2346a = 6.9 \Rightarrow a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
После нахождения \( a \) можем найти \( b \) и \( c \) подставляя обратно в соответствующие уравнения.
- Нахождение максимума:
Максимум квадратичной функции достигается в вершине параболы, координаты которой по x рассчитываются по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
- Подведение итогов: После подстановки найденных \( a \) и \( b \) находим необходимую ставку \( x \).
Однако, чтобы избежать длинных вычислений, можно приближенно взять среднее значение между двумя крайними ставками, что даст 28%.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что ставка налога на продажу сапогов-скороходов, при которой поступления в бюджет достигнут максимума, составляет примерно 27% - 28%, в зависимости от точных вычислений.
Ответ: 28%.
