2 cos² x + 3cosx + 1 > 0.

Давайте решим неравенство \(2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 > 0\) шаг за шагом. ### Шаг 1: Введение в неравенство Это неравенство имеет форму квадратного уравнения, в котором переменной является \(\cos x\). Для удобства подставим \(y = \cos x\). Тогда неравенство можно записать как: \[ 2y^2 + 3y + 1 > 0 \] ### Шаг 2: Расчет дискриминанта Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения, чтобы определить его корни. Формула для дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\). Подставим значения: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] ### Шаг 3: Нахождение корней Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} \] Подставим значения: \[ y_1 = \frac{{-3 + \sqrt{1}}}{2 \cdot 2} = \frac{{-3 + 1}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{{-3 - \sqrt{1}}}{2 \cdot 2} = \frac{{-3 - 1}}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] ### Шаг 4: Определение интервалов Теперь мы знаем, что корни \(y_1 = -\frac{1}{2}\) и \(y_2 = -1\). Мы можем построить числовую прямую и выделить интервалы: - \(y < -1\) - \(-1 < y < -\frac{1}{2}\) - \(y > -\frac{1}{2}\) ### Шаг 5: Проверка знака функции Теперь проверим знак квадратного многочлена \(2y^2 + 3y + 1\) в каждом интервале: 1. **Для интервала \(y < -1\)**, например, возьмем \(y = -2\): \[ 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 2 \cdot 4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \] 2. **Для интервала \(-1 < y < -\frac{1}{2}\)**, например, возьмем \(y = -0.75\): \[ 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) + 1 = 2 \cdot 0.5625 - 2.25 + 1 = 1.125 - 2.25 + 1 = -0.125 < 0 \] 3. **Для интервала \(y > -\frac{1}{2}\)**, например, возьмем \(y = 0\): \[ 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 > 0 \] ### Шаг 6: Подведение итогов Мы видим, что квадратный многочлен положителен в интервалах \(y < -1\) и \(y > -\frac{1}{2}\). Однако, \(\cos x\) должен находиться в диапазоне от \(-1\) до \(1\), следовательно: - У нас есть решение для \(y < -1\), но в этом случае \(\cos x\) не может быть меньше -1. - Таким образом, решением будет только интервал: \[ \cos x > -\frac{1}{2} \] ### Шаг 7: Находим \(x\) Для значения \(\cos x > -\frac{1}{2}\) мы знаем, что: \[ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right) \, \text{для } k \in \mathbb{Z} \] где \(k\) — целое число. ### Ответ Таким образом, решением неравенства \(2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 > 0\) является промежуток: \[ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right), \, k \in \mathbb{Z} \] Если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!