2 cos² x + 3cosx + 1 > 0.
Давайте решим неравенство \(2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 > 0\) шаг за шагом.
Шаг 1: Введение в неравенство
Это неравенство имеет форму квадратного уравнения, в котором переменной является \(\cos x\). Для удобства подставим \(y = \cos x\). Тогда неравенство можно записать как:
\[ 2y^2 + 3y + 1 > 0 \]
Шаг 2: Расчет дискриминанта
Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения, чтобы определить его корни. Формула для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\). Подставим значения:
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
Шаг 3: Нахождение корней
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y_1 = \frac{{-3 + \sqrt{1}}}{2 \cdot 2} = \frac{{-3 + 1}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
\[ y_2 = \frac{{-3 - \sqrt{1}}}{2 \cdot 2} = \frac{{-3 - 1}}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Шаг 4: Определение интервалов
Теперь мы знаем, что корни \(y_1 = -\frac{1}{2}\) и \(y_2 = -1\). Мы можем построить числовую прямую и выделить интервалы:
- \(y < -1\)
- \(-1 < y < -\frac{1}{2}\)
- \(y > -\frac{1}{2}\)
Шаг 5: Проверка знака функции
Теперь проверим знак квадратного многочлена \(2y^2 + 3y + 1\) в каждом интервале:
Для интервала \(y < -1\), например, возьмем \(y = -2\): \[ 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 2 \cdot 4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \]
Для интервала \(-1 < y < -\frac{1}{2}\), например, возьмем \(y = -0.75\): \[ 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) + 1 = 2 \cdot 0.5625 - 2.25 + 1 = 1.125 - 2.25 + 1 = -0.125 < 0 \]
Для интервала \(y > -\frac{1}{2}\), например, возьмем \(y = 0\): \[ 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 > 0 \]
Шаг 6: Подведение итогов
Мы видим, что квадратный многочлен положителен в интервалах \(y < -1\) и \(y > -\frac{1}{2}\). Однако, \(\cos x\) должен находиться в диапазоне от \(-1\) до \(1\), следовательно:
- У нас есть решение для \(y < -1\), но в этом случае \(\cos x\) не может быть меньше -1.
- Таким образом, решением будет только интервал: \[ \cos x > -\frac{1}{2} \]
Шаг 7: Находим \(x\)
Для значения \(\cos x > -\frac{1}{2}\) мы знаем, что:
\[ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right) \, \text{для } k \in \mathbb{Z} \]
где \(k\) — целое число.
Ответ
Таким образом, решением неравенства \(2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 > 0\) является промежуток:
\[ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right), \, k \in \mathbb{Z} \]
Если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!
