Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% - уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи, связанной с квадратичной функцией, воспользуемся следующим подходом.
Шаг 1: Обозначения и форма функции
Мы знаем, что зависимость поступления налогов (Y) от ставки налога (X) имеет форму квадратичной функции, что можно записать как:
\[ Y = aX^2 + bX + c \]
Где:
- \( Y \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков);
- \( X \) — ставка налога (в процентах);
- \( a, b, c \) — коэффициенты, которые мы определим.
Шаг 2: Подстановка известных данных
По условию задачи у нас есть три точки:
- \( (10, 1.3) \)
- \( (33, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
Сначала мы используем первые два случая, чтобы составить систему уравнений.
Уравнения первой и второй точки:
Для первой точки \( (10, 1.3) \):
\[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \] \[ 1.3 = 100a + 10b + c \] \quad (1)
Для второй точки \( (33, 1.3) \):
\[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \] \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \] \quad (2)
Теперь вычтем уравнение (1) из (2):
\[ 0 = (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) \] \[ 0 = 1089a - 100a + 33b - 10b \] \[ 0 = 989a + 23b \] \quad (3)
Шаг 3: Уравнение с третьей точкой
Теперь используем третью точку \( (27, 1.6) \):
\[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \] \[ 1.6 = 729a + 27b + c \] \quad (4)
Из уравнения (1) можем выразить \( c \):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad (5) \]
Теперь подставим \( c \) из (5) в (4):
\[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \] \[ 1.6 = 729a + 27b + 1.3 - 100a - 10b \] \[ 1.6 - 1.3 = (729 - 100)a + (27 - 10)b \] \[ 0.3 = 629a + 17b \] \quad (6)
Шаг 4: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть две уравнения (3) и (6):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Решим уравнение (3) для \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим значение \( b \) в (6):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \]
Переведем все в общий знаменатель:
\[ \frac{14467a}{23} = 0.3 \] \[ 14467a = 6.9 \] \[ a = \frac{6.9}{14467} \approx 0.000477 \]
Теперь подставим \( a \) обратно в уравнение для \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} \cdot 0.000477 \approx -0.021409 \]
Шаг 5: Находка максимума функции
Максимум квадратичной функции \( Y = aX^2 + bX + c \) достигается при: \[ X_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим \( a \) и \( b \):
\[ X_{max} = -\frac{-0.021409}{2 \cdot 0.000477} \approx 22.42 \]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 22.42%.
