номер 489: Даны вектора ā(4;-5) и b(-1;7) Найдите: 1) Координаты вектаров ā+b, ā-b 2)|ā+b|,|ā-b| номер 491: сумма вектаров ā(5;-3) и b(x;4) равна вектору c(2;y) найдите x и y

Давайте разберем каждую из задач по очереди, начнем с номера 489.

Задача 489

Даны:

• Вектор \(\mathbf{a} = (4; -5)\)
• Вектор \(\mathbf{b} = (-1; 7)\)

Нам нужно найти:

1. Координаты векторов \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\)
2. Длину (модуль) векторов \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}|\) и \(|\mathbf{a} - \mathbf{b}|\)

Шаг 1: Найдем координаты векторов \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\)

• Сумма векторов: \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (4; -5) + (-1; 7) \] Для сложения векторов складываем соответствующие координаты: \[ \begin{align*} x_{1} + x_{2} &= 4 + (-1) = 3, \\ y_{1} + y_{2} &= -5 + 7 = 2. \end{align*} \] Таким образом, \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3; 2)\).

• Разность векторов: \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (4; -5) - (-1; 7) \] Для вычитания векторов вычитаем соответствующие координаты: \[ \begin{align*} x_{1} - x_{2} &= 4 - (-1) = 4 + 1 = 5, \\ y_{1} - y_{2} &= -5 - 7 = -12. \end{align*} \] Таким образом, \(\mathbf{a} - \mathbf{b} = (5; -12)\).

Ответ на первый пункт:

• \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3; 2)\)
• \(\mathbf{a} - \mathbf{b} = (5; -12)\)

Шаг 2: Найдем модуль векторов \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}|\) и \(|\mathbf{a} - \mathbf{b}|\)

• Модуль вектора \(|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

• Для \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3; 2)\): \[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}. \]

• Для \(\mathbf{a} - \mathbf{b} = (5; -12)\): \[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]

Ответ на второй пункт:

• \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{13}\)
• \(|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = 13\)

Задача 491

Даны:

• Вектор \(\mathbf{a} = (5; -3)\)
• Вектор \(\mathbf{b} = (x; 4)\)
• Сумма векторов \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{c} = (2; y)\)

Нам нужно найти \(x\) и \(y\).

Шаг 1: Запишем уравнение для суммы векторов

\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (5; -3) + (x; 4) = (2; y) \]

Это дает нам два уравнения:

1. \(5 + x = 2\)
2. \(-3 + 4 = y\)

Шаг 2: Найдем \(x\)

Решим первое уравнение: \[ 5 + x = 2 \implies x = 2 - 5 \implies x = -3. \]

Шаг 3: Найдем \(y\)

Решим второе уравнение: \[ -3 + 4 = y \implies y = 1. \]

Ответ:

• \(x = -3\)
• \(y = 1\)

Теперь у нас есть решения для обеих задач. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!