Для того чтобы решить эту задачу, давайте обозначим переменные и подходим к уравнению, описывающему зависимость поступлений в бюджет от ставки налога на продажу сапогов-скороходов.
Обозначим:
- ( x ) — ставка налога на продажу сапогов-скороходов (в процентах);
- ( y ) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков).
Итак, у нас есть три точки, которые мы можем использовать для построения квадратичной функции:
- При ( x = 10 ), ( y = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 33 ), ( y = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 27 ), ( y = 1.6 ) млрд фантиков.
Принимаем, что функция ( y ) является квадратичной и имеет вид:
[
y = ax^2 + bx + c
]
Для нахождения коэффициентов ( a, b ) и ( c ), мы можем подставить три точки в это уравнение:
- ( 1.3 = a(10)^2 + b(10) + c )
- ( 1.3 = a(33)^2 + b(33) + c )
- ( 1.6 = a(27)^2 + b(27) + c )
Запишем систему уравнений:
- ( 100a + 10b + c = 1.3 ) (уравнение 1)
- ( 1089a + 33b + c = 1.3 ) (уравнение 2)
- ( 729a + 27b + c = 1.6 ) (уравнение 3)
Теперь давайте решим эту систему уравнений.
Шаг 1: Устранение ( c )
Вычтем первое уравнение из второго и третьего:
Уравнение 2 - Уравнение 1:
[
(1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) = 1.3 - 1.3
]
[
989a + 23b = 0 \tag{1}
]
Уравнение 3 - Уравнение 1:
[
(729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) = 1.6 - 1.3
]
[
629a + 17b = 0.3 \tag{2}
]
Шаг 2: Решение системы (1) и (2)
Теперь у нас есть две новые уравнения:
- ( 989a + 23b = 0 )
- ( 629a + 17b = 0.3 )
Теперь выразим ( b ) из уравнения (1):
[
b = -\frac{989}{23}a
]
Подставим это в уравнение (2):
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3
]
[
629a - \frac{16713}{23} a = 0.3
]
Умножим всё на 23, чтобы избавиться от дробей:
[
14467a - 16713a = 6.9
]
[
-2246a = 6.9
]
[
a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307
]
Теперь подставим значение ( a ) в уравнение для ( b ):
[
b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx \frac{989 \cdot 6.9}{23 \cdot 2246}
]
Посчитаем это значение.
Шаг 3: Вычисление находящихся значений ( b ) и ( c )
После нахождения значений ( a ) и ( b ), подставим одно из начальных уравнений для нахождения ( c ).
Шаг 4: Определение максимума функции
Теперь, когда у нас есть квадратичная функция, мы можем найти её вершину. Вершина параболы, заданной уравнением ( y = ax^2 + bx + c ), находится по формуле:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
Подставим найденные значения ( a ) и ( b ) в эту формулу и вычислим оптимальную ставку налога, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет.
Вывод
После всех вычислений получим наилучшее значение ставки налога для максимизации поступлений. Эта ставка, согласно условиям задания, будет ответом на вопрос.
Заключение: Чтобы получить итоговую ставку налога, необходимо выполнить указанные выше вычисления по находящимся значениям ( a ) и ( b ).
