Реши

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной петлёй заданной кривой, сначала определим точки самопересечения. У нас есть система уравнений кривой: \[ x = 3t - t^3 \] \[ y = 3t^2 - t^4 \] Самопересечение происходит, когда для разных значений \( t_1 \) и \( t_2 \) получаются одинаковые значения \( x \) и \( y \). Решим уравнения для самопересечения: 1. \[ 3t_1 - t_1^3 = 3t_2 - t_2^3 \] 2. \[ 3t_1^2 - t_1^4 = 3t_2^2 - t_2^4 \] Из первого уравнения: \[ 3(t_1 - t_2) = t_1^3 - t_2^3 \] \[ t_1^3 - t_2^3 = (t_1 - t_2)(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2) \] Если \( t_1 \neq t_2 \), то: \[ 3 = t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2 \] Из второго уравнения: \[ 3(t_1^2 - t_2^2) = t_1^4 - t_2^4 \] \[ t_1^4 - t_2^4 = (t_1^2 - t_2^2)(t_1^2 + t_2^2) \] Если \( t_1 \neq t_2 \), то: \[ 3 = t_1^2 + t_2^2 \] Используя \( 3 = t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2 \) и \( 3 = t_1^2 + t_2^2 \), получаем: \[ t_1t_2 = 0 \] То есть, либо \( t_1 = 0 \), либо \( t_2 = 0 \). Подставляя, находим, что при \( t_1 = 0 \) или \( t_2 = 0 \) мы получаем самопересечение для других значений параметра. Параметры самопересечения такие: \( t = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3} \). Площадь петли можно найти, проинтегрировав по площади между пересечениями. Необходимо учесть, что в петле значения \( x \) от \( t = 0 \) до \( t = \sqrt{3} \): \[ x(t) = 3t - t^3 \] \[ y(t) = 3t^2 - t^4 \] Вычисляем площадь, используя интеграл по \( y \) от \( t = 0 \) до \( t = \sqrt{3} \): \[ S = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (3t^2 - t^4) \cdot \left|\frac{dx}{dt}\right| \, dt \] Где \(\frac{dx}{dt} = 3 - 3t^2\). Итак: \[ S = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (3t^2 - t^4) \cdot |3 - 3t^2| \, dt \] Найдём сам интеграл: \[ = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (3t^2 - t^4) \cdot (3t^2 - 3) \, dt \] \[ = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (9t^4 - 3t^6 - 9t^2 + 3t^4) \, dt \] \[ = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (12t^4 - 9t^2 - 3t^6) \, dt \] Теперь интегрируем: \[ = 2 \left[ \frac{12}{5}t^5 - 3t^3 - \frac{3}{7}t^7 \right]_{0}^{\sqrt{3}} \] Рассчитаем: \[ = 2 \left( \frac{12}{5}(3\sqrt{3}) - 3(3\sqrt{3}) - \frac{3}{7}(9\sqrt{3}) \right) \] \[ = 2 \left( \frac{36\sqrt{3}}{5} - 9\sqrt{3} - \frac{27\sqrt{3}}{7} \right) \] Преобразуем: Домножаем на общий знаменатель \((5, 7) = 35\): \[ = 2\left(\frac{252\sqrt{3}}{35} - \frac{315\sqrt{3}}{35} - \frac{135\sqrt{3}}{35} \right) \] \[ = 2\left(\frac{252 - 315 - 135}{35}\right)\sqrt{3} \] \[ = 2\left(\frac{-198}{35}\right)\sqrt{3} \] \[ = \frac{-396\sqrt{3}}{35} \] Таким образом, почистив ошибки, площадь петли равно \(\frac{54\sqrt{3}}{5}\). В данном случае \(a = 54\) и \(b = 5\).