боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции

Для решения задачи начнем с обозначения известных и неизвестных величин:

1. Пусть меньшая база трапеции равна \( a \).
2. Большее основание трапеции равно \( b = 28 \).
3. Боковая сторона равна меньшему основанию, то есть \( c = a \).
4. Угол при основании равен \( 60^\circ \).

Шаг 1: Построение и анализ

Рисуем равнобедренную трапецию \( ABCD \), где:

• \( AB = a \) (меньшее основание)
• \( CD = b = 28 \) (большее основание)
• \( AD = BC = c = a \) (боковые стороны)
• Угол \( \angle DAB = 60^\circ \).

Шаг 2: Использование тригонометрии

Мы можем опустить высоту из точки \( A \) на основание \( CD \) и обозначить точку пересечения высоты с \( CD \) как \( H \). Таким образом, \( AH \) будет высотой трапеции.

В силу симметрии равнобедренной трапеции, \( AH \) делит основание \( CD \) на два равных отрезка. Обозначим \( CH = x \) и \( DH = x \), так как \( H \) является серединой отрезка \( CD \).

Таким образом: \[ CH + x + DH = CD \implies 2x + a = 28. \]

Шаг 3: Выражение для высоты

Используем тригонометрические функции, чтобы выразить высоту \( h \) в терминах боковой стороны \( c = a \) и угла \( 60^\circ \): \[ h = AH = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Шаг 4: Выражение для \( x \)

Из формулы для основания \( CD \): \[ 2x + a = 28 \implies x = \frac{28 - a}{2}. \]

Шаг 5: Применение теоремы Пифагора

Теперь можем выразить \( x = CH \): \[ x = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2}. \]

Шаг 6: Составление системы уравнений

Теперь у нас есть два выражения для \( x \):

1. \( x = \frac{28 - a}{2} \)
2. \( x = \frac{a}{2} \)

Приравняем два выражения: \[ \frac{28 - a}{2} = \frac{a}{2}. \]

Шаг 7: Решение уравнения

Умножим обе стороны на 2: \[ 28 - a = a \implies 28 = 2a \implies a = 14. \]

Шаг 8: Найдем высоту

Теперь можем найти высоту \( h \): \[ h = a \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}. \]

Шаг 9: Находим радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности \( R \) равен: \[ R = \frac{a \cdot b}{2h}, \] подставим известные значения: \[ R = \frac{14 \cdot 28}{2 \cdot 7\sqrt{3}} = \frac{392}{14\sqrt{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} = \frac{28\sqrt{3}}{3}. \]

Ответ

Радиус описанной окружности равен \( \frac{28\sqrt{3}}{3} \).