.

Для преобразования выражения \(\left(\frac{1}{3} m^3 - 3n \right)^2\) в многочлен, нужно раскрыть скобки.

1. Используем формулу квадрата разности:

   \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

   Здесь \(a = \frac{1}{3} m^3\) и \(b = 3n\).

2. Найдём \(a^2\):

   \[ a^2 = \left(\frac{1}{3} m^3\right)^2 = \frac{1}{9} m^6 \]

3. Найдём \(-2ab\):

   \[ -2ab = -2 \cdot \frac{1}{3} m^3 \cdot 3n = -2m^3n \]

4. Найдём \(b^2\):

   \[ b^2 = (3n)^2 = 9n^2 \]

5. Соберём всё вместе:

   \[ a^2 - 2ab + b^2 = \frac{1}{9} m^6 - 2m^3n + 9n^2 \]

Таким образом, преобразованное выражение:

\[ \frac{1}{9} m^6 - 2m^3n + 9n^2 \]

Правильный ответ — вариант первый.