Чтобы решить уравнение (\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}), начнем с того, что обе стороны уравнения имеют одинаковый знаменатель (x - 3), и можем сократить его (при условии, что (x \neq 3)).
Получим:
[
x^2 - 6 = x
]
Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:
[
x^2 - x - 6 = 0
]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью разложения на множители или по формуле. Попробуем разложить:
[
(x - 3)(x + 2) = 0
]
Отсюда получаем два возможных решения:
- (x - 3 = 0 \implies x = 3)
- (x + 2 = 0 \implies x = -2)
Однако мы должны помнить, что (x \neq 3) из-за первоначального ограничения. Поэтому единственное допустимое решение:
[
x = -2
]
Проверим: подставим (x = -2) обратно в исходное уравнение.
Левая сторона:
[
\frac{(-2)^2 - 6}{-2 - 3} = \frac{4 - 6}{-5} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}
]
Правая сторона:
[
\frac{-2}{-2 - 3} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}
]
Обе стороны равны, значит решение верно.
Таким образом, ответ: (x = -2).
