Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную меддайте в тысячах рублей.

Для решения задачи о максимизации медианы зарплат сотрудников отдела с учетом премии, давайте разберем шаги по порядку. ### Шаг 1: Определение медианы Медиана — это значение, которое разделяет набор данных на две равные части. Если совпадают два значения, медиана будет их средним. Чтобы максимизировать медиану, нужно сделать так, чтобы сумма выплат была распределена таким образом, чтобы как можно больше сотрудников получило премию, при этом учитывая, что часть сотрудников может не получать ничего. ### Шаг 2: Исходные условия Допустим, у нас есть \( n \) сотрудников, и общий объем выплат на премирование составляет 200,000 рублей. Мы обозначим зарплаты каждого из сотрудников за декабрь как \( S_1, S_2, \ldots, S_n \). После добавления премий, медиана преобразуется. ### Шаг 3: Распределение средств Для максимизации медианы, логично выделить премии так, чтобы как можно больше сотрудников получили одинаковую и максимальную добавочную сумму. Например, если мы распределим всю премию равными частями между некоторым числом сотрудников. ### Шаг 4: Среднее распределение Если мы выделим премию следующим образом: - К примеру, 200,000 рублей распределены на \( k \) сотрудников, каждая получит \( \frac{200,000}{k} \) рублей. - Если все \( k \) сотрудников получили премию, то их зарплаты в итоге будут выглядеть так: \( S_1 + P, S_2 + P, \ldots, S_k + P \), где \( P = \frac{200,000}{k} \). ### Шаг 5: Максимизация медианы Для поиска максимальной медианы, нам нужно сделать так, чтобы \( k \) было минимальным (то есть, чтобы как можно больше сотрудников с минимальными зарплатами не получали премию). Если мы сделаем так, что все сотрудники, кроме самых низкооплачиваемых, получат премию, это позволит в значительной степени увеличить медиану. 1. Пусть \( m \) сотрудников из \( n \) не получат премию. Тогда \( n - m \) сотрудников получат равные премии и их зарплаты будут \[ S + \frac{200,000}{n - m} \]. 2. Мы хотим, чтобы медиана была максимальной, следовательно, премию следует делить на тех сотрудников, у которых зарплата выше медианы. ### Шаг 6: Примеры расчета Допустим, что у нас есть 10 сотрудников, из которых 5 получают минимальную зарплату, а 5 имеют зарплату выше: - Если мы выделим всю сумму 200,000 пяти сотрудникам, каждая получит \( 40,000 \). - Теперь если зарплаты этих сотрудников были \( 50,000, 60,000, 70,000, 80,000, 90,000 \), то с добавлением премии они станут: - 90,000, 100,000, 110,000, 120,000, 130,000. ### Шаг 7: Итоговая медиана При такой ситуации, где премия добавлена 5 сотрудникам, медиана будет равна \( \frac{110,000 + 120,000}{2} = 115,000 \) рублей. ### Заключение Следовательно, если вы распределите премии среди 5 наиболее оплачиваемых сотрудников, то медиана выплат повысится до величины 115,000 рублей. Это наибольшая медиана, которую можно достичь, распределяя 200,000 рублей между \( n = 10 \) сотрудниками. Эта схема и шаги позволяют понять, как можно управлять распределением премий для достижения максимальной медианы, основываясь на индивидуальных зарплатах сотрудников и желаемом результате!