Периметр прямоугольника равен 158 см, а его площадь 1008 см². Найдите длины сторон прямоугольника.
Давайте решим задачу о нахождении длины и ширины прямоугольника, используя информацию о периметре и площади.
Обозначим длину прямоугольника как \( L \), а ширину как \( W \). Из условия нам известны следующие формулы:
Периметр прямоугольника: \[ P = 2L + 2W \]
Площадь прямоугольника: \[ S = L \times W \]
Мы знаем, что:
- Периметр \( P = 158 \) см,
- Площадь \( S = 1008 \) см².
Шаг 1: Составим систему уравнений
Запишем уравнения для периметра и площади с использованием данных:
\[ 2L + 2W = 158 \quad (1) \]
\[ L \times W = 1008 \quad (2) \]
Шаг 2: Упростим первое уравнение
Упростим уравнение (1) для удобства: \[ L + W = \frac{158}{2} \Rightarrow L + W = 79 \quad (3) \]
Шаг 3: Выразим одну переменную через другую
Из уравнения (3) выразим \( W \): \[ W = 79 - L \quad (4) \]
Шаг 4: Подставим выражение для \( W \) в уравнение (2)
Теперь подставим выражение (4) в уравнение (2): \[ L \times (79 - L) = 1008 \]
Раскроем скобки: \[ 79L - L^2 = 1008 \]
Переставим уравнение в стандартный вид: \[ L^2 - 79L + 1008 = 0 \quad (5) \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение (5). Мы можем решить его с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-79)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1008 \] \[ D = 6241 - 4032 = 2209 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней: \[ L = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{79 \pm \sqrt{2209}}{2} \]
Сначала находим \( \sqrt{2209} \): \[ \sqrt{2209} = 47 \]
Теперь подставляем в формулу корней: \[ L = \frac{79 \pm 47}{2} \]
Это дает нам два значения для \( L \):
- \( L_1 = \frac{79 + 47}{2} = \frac{126}{2} = 63 \)
- \( L_2 = \frac{79 - 47}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
Шаг 6: Найдем значения \( W \)
Теперь, используя значения \( L \), найдем соответствующие \( W \):
При \( L = 63 \): \[ W = 79 - 63 = 16 \]
При \( L = 16 \) (находим \( W \)): \[ W = 79 - 16 = 63 \]
Ответ
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
- Длина \( L = 63 \) см и ширина \( W = 16 \) см (или наоборот).
Подводя итог, мы можем сказать, что длины сторон прямоугольника равны \( 63 \) см и \( 16 \) см.
