Постройте график функции y={-x²+8x-17 приx >2 -x² при x<2 определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком равно общие точки

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

1. Изучаем функцию

Функция задана по частям:

• Для \( x > 2 \): \( y = -x^2 + 8x - 17 \)
• Для \( x < 2 \): \( y = -x^2 \)

2. Построим график

Сначала мы построим график каждой из частей функции.

a) График \( y = -x^2 + 8x - 17 \) для \( x > 2 \)

Это парабола, которая открывается вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Чтобы её нарисовать, нам нужно найти:

• Вершину параболы: Вершина для функции вида \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \).

Здесь:

• \( a = -1 \)
• \( b = 8 \)
• \( c = -17 \)

Находим координату \( x \) вершины: \[ x_v = -\frac{8}{2 \cdot -1} = 4 \]

Теперь подставим \( x = 4 \) в уравнение функции, чтобы найти координату \( y \): \[ y_v = -(4^2) + 8 \cdot 4 - 17 = -16 + 32 - 17 = -1 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (4, -1) \). Парабола будет продолжаться только вправо от точки \( (2, -5) \) (уже посчитанная значение в точке разрыва).

b) График \( y = -x^2 \) для \( x < 2 \)

Это тоже парабола, которая открывается вниз, но здесь мы можем взять часть, которая находится слева от \( x = 2 \):

• Вершина находится в \( (0, 0) \). Также мы видим, что у функции будет значение \( (2, -4) \).

3. Общие точки с прямой \( y = m \)

Теперь нужно найти, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком функции ровно общие точки.

• Для \( x > 2 \):

  Нам нужно решить уравнение: \[ -x^2 + 8x - 17 = m \] Сначала приведём его к стандартному виду: \[ -x^2 + 8x - (17 + m) = 0 \] Это квадратное уравнение имеет решения при наличии дискриминанта (D): \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-(17 + m)) \] \[ D = 64 - 4(17 + m) = 64 - 68 - 4m = -4 - 4m \]

  Чтобы у уравнения было ровно одно решение (единичное касание), мы должны приравнять \( D \) к нулю: \[ -4 - 4m = 0 \implies -4m = 4 \implies m = -1 \]

• Для \( x < 2 \):

  Теперь решаем уравнение: \[ -x^2 = m \quad \Rightarrow \quad m + x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -m \]

  Это уравнение имеет решение, только если \( m \leq 0 \). Для ровно одного решения нужно, чтобы \( m = 0 \).

4. Заключение

Таким образом, ровно одно общее решение:

• Для \( x > 2 \): \( m = -1 \) (касание верхней части параболы)
• Для \( x < 2 \): \( m = 0 \) (касание оси абсцисс)

Ответ: Прямая \( y = m \) имеет ровно одно общее решение с графиком функции при \( m = -1 \) и \( m = 0 \).