Для решения данной задачи воспользуемся известной формулой: скорость равна расстоянию, делённому на время.
Обозначения:
- ( v_c ) — собственная скорость катера (км/ч).
- ( v_t = 5 ) км/ч — скорость течения реки.
- Расстояние по течению: ( 80 ) км.
- Расстояние против течения: ( 60 ) км.
- Общее время на весь путь: ( 10 ) часов.
Шаг 1: Найти скорость катера по течению и против течения.
Скорость катера по течению:
При движении по течению реки скорость катера суммируется со скоростью течения:
[
v_{по,течению} = v_c + v_t = v_c + 5
]
Скорость катера против течения:
При движении против течения реки скорость катера уменьшается на скорость течения:
[
v_{против,течению} = v_c - v_t = v_c - 5
]
Шаг 2: Выразить время в пути.
Теперь, зная скорости, можем выразить время, затраченное на каждый участок пути.
Время по течению:
[
t_1 = \frac{80}{v_c + 5}
]
Время против течения:
[
t_2 = \frac{60}{v_c - 5}
]
Шаг 3: Составить уравнение по времени.
Суммарное время на весь путь равно ( 10 ) часов:
[
t_1 + t_2 = 10
]
Подставляем выражения для времени:
[
\frac{80}{v_c + 5} + \frac{60}{v_c - 5} = 10
]
Шаг 4: Решить уравнение.
Умножим обе стороны уравнения на ( (v_c + 5)(v_c - 5) ) (чтобы избавиться от знаменателей):
[
80(v_c - 5) + 60(v_c + 5) = 10(v_c + 5)(v_c - 5)
]
Раскроем скобки:
[
80v_c - 400 + 60v_c + 300 = 10(v_c^2 - 25)
]
Соберём все слагаемые в одну сторону:
[
140v_c - 100 = 10v_c^2 - 250
]
Перепишем уравнение:
[
10v_c^2 - 140v_c - 150 = 0
]
Шаг 5: Упростим и решим квадратное уравнение.
Делим всё уравнение на ( 10 ):
[
v_c^2 - 14v_c - 15 = 0
]
Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256
]
[
v_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2}
]
Находим два корня:
- ( v_c = \frac{30}{2} = 15 ) км/ч
- ( v_c = \frac{-2}{2} = -1 ) км/ч (отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной)
Ответ:
Собственная скорость катера равна ( 15 ) км/ч.
