Катер прошёл по течению реки 80 км, повернув обратно, он прошёл ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5…

Для решения данной задачи воспользуемся известной формулой: скорость равна расстоянию, делённому на время.

Обозначения:

• \( v_c \) — собственная скорость катера (км/ч).
• \( v_t = 5 \) км/ч — скорость течения реки.
• Расстояние по течению: \( 80 \) км.
• Расстояние против течения: \( 60 \) км.
• Общее время на весь путь: \( 10 \) часов.

Шаг 1: Найти скорость катера по течению и против течения.

1. Скорость катера по течению:
   При движении по течению реки скорость катера суммируется со скоростью течения: \[ v_{по\,течению} = v_c + v_t = v_c + 5 \]

2. Скорость катера против течения:
   При движении против течения реки скорость катера уменьшается на скорость течения: \[ v_{против\,течению} = v_c - v_t = v_c - 5 \]

Шаг 2: Выразить время в пути.

Теперь, зная скорости, можем выразить время, затраченное на каждый участок пути.

1. Время по течению: \[ t_1 = \frac{80}{v_c + 5} \]

2. Время против течения: \[ t_2 = \frac{60}{v_c - 5} \]

Шаг 3: Составить уравнение по времени.

Суммарное время на весь путь равно \( 10 \) часов: \[ t_1 + t_2 = 10 \] Подставляем выражения для времени: \[ \frac{80}{v_c + 5} + \frac{60}{v_c - 5} = 10 \]

Шаг 4: Решить уравнение.

Умножим обе стороны уравнения на \( (v_c + 5)(v_c - 5) \) (чтобы избавиться от знаменателей): \[ 80(v_c - 5) + 60(v_c + 5) = 10(v_c + 5)(v_c - 5) \]

Раскроем скобки: \[ 80v_c - 400 + 60v_c + 300 = 10(v_c^2 - 25) \]

Соберём все слагаемые в одну сторону: \[ 140v_c - 100 = 10v_c^2 - 250 \] Перепишем уравнение: \[ 10v_c^2 - 140v_c - 150 = 0 \]

Шаг 5: Упростим и решим квадратное уравнение.

Делим всё уравнение на \( 10 \): \[ v_c^2 - 14v_c - 15 = 0 \]

Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \] \[ v_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2} \]

Находим два корня:

1. \( v_c = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч
2. \( v_c = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч (отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ:

Собственная скорость катера равна \( 15 \) км/ч.