Давайте последовательно вычислим производные для каждой функции, указанной в ваших заданиях, и подставим заданные значения аргумента.
Задание 199
1. ( f(x) = 4x^3 - 3x^2 - x - 1, ; x = -1 )
Шаг 1: Находим производную ( f'(x) )
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) = 12x^2 - 6x - 1
]
Шаг 2: Подставляем ( x = -1 )
[
f'(-1) = 12(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 12 + 6 - 1 = 17
]
2. ( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 4x - 1, ; x = -1 )
Шаг 1: Находим производную ( f'(x) )
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(1) = 12x^3 - 4x + 4
]
Шаг 2: Подставляем ( x = -1 )
[
f'(-1) = 12(-1)^3 - 4(-1) + 4 = -12 + 4 + 4 = -4
]
3. ( f(x) = 1 - x^2 + x^3 - x^4 + x^5, ; x = 2 )
Шаг 1: Находим производную ( f'(x) )
[
f'(x) = 0 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 = -2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 2 )
[
f'(2) = -2(2) + 3(2^2) - 4(2^3) + 5(2^4) = -4 + 12 - 32 + 80 = 56
]
Задание 200
1. ( f(x) = (2x^3 - 1)(x^2 + 1), ; x = 1 )
Шаг 1: Находим производную, используя правило произведения
[
f'(x) = (2x^3 - 1)'(x^2 + 1) + (2x^3 - 1)(x^2 + 1)'
]
[
f'(x) = (6x^2)(x^2 + 1) + (2x^3 - 1)(2x) = 6x^2(x^2 + 1) + 2x(2x^3 - 1)
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 1 )
[
f'(1) = 6(1^2)(1^2 + 1) + 2(1)(2(1^3) - 1) = 6(1)(2) + 2(1)(1) = 12 + 2 = 14
]
2. ( f(x) = (3 - x^2)(4 + x^2), ; x = -2 )
Шаг 1: Находим производную, используя правило произведения
[
f'(x) = (3 - x^2)'(4 + x^2) + (3 - x^2)(4 + x^2)'
]
[
f'(x) = (-2x)(4 + x^2) + (3 - x^2)(2x) = -2x(4 + x^2) + 2x(3 - x^2)
]
Шаг 2: Подставляем ( x = -2 )
[
f'(-2) = -2(-2)(4 + (-2)^2) + 2(-2)(3 - (-2)^2) = 8(4 + 4) + (-4)(3 - 4) = 64 + 4 = 68
]
3. ( f(x) = (x^3 + x^2)(x^2 - 1), ; x = -1 )
Шаг 1: Находим производную, используя правило произведения
[
f'(x) = (x^3 + x^2)'(x^2 - 1) + (x^3 + x^2)(x^2 - 1)'
]
[
= (3x^2 + 2x)(x^2 - 1) + (x^3 + x^2)(2x) = (3x^2 + 2x)(x^2 - 1) + 2x(x^3 + x^2)
]
Шаг 2: Подставляем ( x = -1 )
[
f'(-1) = (3(-1)^2 + 2(-1))((-1)^2 - 1) + 2(-1)((-1)^3 + (-1)^2) = (3 - 2)(0) + 2(-1)(-1 + 1) = 0
]
Задание 201
1. ( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}, ; x = -2 )
Шаг 1: Находим производную
Используем правило деления:
[
f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(2x) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}
]
[
= \frac{2x(x^2 - 1 - x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(-2)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}
]
Шаг 2: Подставляем ( x = -2 )
[
f'(-2) = \frac{-4(-2)}{((-2)^2 - 1)^2} = \frac{8}{(4 - 1)^2} = \frac{8}{9}
]
2. ( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}, ; x = 1 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(3x^2) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 1 )
[
f'(1) = \frac{(1^2 + 1)(3(1^2)) - (1^3 + 1)(2(1))}{(1^2 + 1)^2} = \frac{(2)(3) - (2)(2)}{4} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
3. ( f(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}, ; x = 2 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = \frac{(2x + 1)(3) - (3x - 1)(2)}{(2x + 1)^2}
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 2 )
[
f'(2) = \frac{(2(2) + 1)(3) - (3(2) - 1)(2)}{(2(2) + 1)^2} = \frac{(5)(3) - (5)(2)}{25} = \frac{15 - 10}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}
]
Задание 202
1. ( f(x) = (x^2 + 2x - 1)^4, ; x = -1 )
Шаг 1: Находим производную
Используем правило цепной производной:
[
f'(x) = 4(x^2 + 2x - 1)^3 \cdot (2x + 2)
]
Шаг 2: Подставляем ( x = -1 )
[
f'(-1) = 4((-1)^2 + 2(-1) - 1)^3 \cdot (2(-1) + 2) = 4(1 - 2 - 1)^3 \cdot (0) = 0
]
2. ( f(x) = (x^3 - 4x^2 + 3)^7, ; x = 1 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = 7(x^3 - 4x^2 + 3)^6 \cdot (3x^2 - 8x)
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 1 )
[
f'(1) = 7(1 - 4 + 3)^6(3 - 8) = 7(0)^6(-5) = 0
]
3. ( f(x) = (3x - 1)^4, ; x = 1 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = 4(3x - 1)^3 \cdot (3)
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 1 )
[
f'(1) = 4(3(1) - 1)^3 \cdot 3 = 4(2)^3 \cdot 3 = 4 \cdot 8 \cdot 3 = 96
]
Задание 203
1. ( f(x) = \frac{1}{x^3 - 1}, ; x = 2 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = -\frac{(3x^2)}{(x^3 - 1)^2}
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 2 )
[
f'(2) = -\frac{3(2)^2}{(2^3 - 1)^2} = -\frac{12}{(8 - 1)^2} = -\frac{12}{49}
]
2. ( f(x) = \frac{1}{(1 - x^2)^2}, ; x = 2 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = -\frac{2(-2x)(1 - x^2)}{(1-x^2)^4} = \frac{4x}{(1-x^2)^3}
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 2 )
[
f'(2) = \frac{4(2)}{(1 - (2)^2)^3} = \frac{8}{(1 - 4)^3} = \frac{8}{(-3)^3} = \frac{8}{-27} = -\frac{8}{27}
]
3. ( f(x) = \frac{1}{(x^2 + x + 1)^2}, ; x = 1 )
Шаг 1: Находим производную
[
f'(x) = -\frac{2(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^3}
]
Шаг 2: Подставляем ( x = 1 )
[
f'(1) = -\frac{2(2(1) + 1)}{(1^2 + 1 + 1)^3} = -\frac{2(3)}{(3)^3} = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}
]
Таким образом, у нас есть все необходимые производные и значения для каждого из заданий. Если нужны дополнительные объяснения или более подробные шаги, дайте знать!
