у филателиста 10 различных марок сколькими способами он может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест

Чтобы решить задачу о том, сколькими способами филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, давайте разберём её шаг за шагом.

1. Определим условия задачи

У нас есть:

• 10 различных марок.
• 6 пронумерованных мест для наклеивания.
• Мы должны выбрать 3 марки и определить, на какие из 6 мест их наклеить.

2. Выбор марок

Первым шагом мы выбираем 3 марки из 10. Количество способов выбрать 3 марки из 10 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(n\) — общее количество элементов (в нашем случае 10 марок), а \(k\) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3 марки).

Подставим значения:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Итак, количество способов выбрать 3 марки из 10 — 120.

3. Расположение марок на местах

Теперь нам нужно выяснить, сколько способов расположить выбранные 3 марки на 6 пронумерованных местах. Поскольку порядок, в котором расположены марки, важен, мы используем формулу размещений. Для этого мы можем применять формулу размещений \(A(n, k)\):

\[ A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

где \(n\) — общее количество мест (в нашем случае 6), а \(k\) — количество марки (в нашем случае 3).

Подставим значения:

\[ A(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]

4. Общее количество способов

Теперь, чтобы получить общее количество способов наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, мы перемножим количество способов выбора марок на количество способов их расположения:

\[ \text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times A(6, 3) = 120 \times 120 = 14400 \]

Ответ

Таким образом, филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест 14400 способами.