Чтобы решить задачу о том, сколькими способами филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, давайте разберём её шаг за шагом.
1. Определим условия задачи
У нас есть:
- 10 различных марок.
- 6 пронумерованных мест для наклеивания.
- Мы должны выбрать 3 марки и определить, на какие из 6 мест их наклеить.
2. Выбор марок
Первым шагом мы выбираем 3 марки из 10. Количество способов выбрать 3 марки из 10 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где (n) — общее количество элементов (в нашем случае 10 марок), а (k) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3 марки).
Подставим значения:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
]
Итак, количество способов выбрать 3 марки из 10 — 120.
3. Расположение марок на местах
Теперь нам нужно выяснить, сколько способов расположить выбранные 3 марки на 6 пронумерованных местах. Поскольку порядок, в котором расположены марки, важен, мы используем формулу размещений. Для этого мы можем применять формулу размещений (A(n, k)):
[
A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}
]
где (n) — общее количество мест (в нашем случае 6), а (k) — количество марки (в нашем случае 3).
Подставим значения:
[
A(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120
]
4. Общее количество способов
Теперь, чтобы получить общее количество способов наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, мы перемножим количество способов выбора марок на количество способов их расположения:
[
\text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times A(6, 3) = 120 \times 120 = 14400
]
Ответ
Таким образом, филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест 14400 способами.
