Решить
Для решения этой задачи нужно раскрыть скобки в выражении \((x + 1)^4\) и сопоставить результат с выражением, представленным справа. Это делается с помощью бинома Ньютона:
Бином Ньютона для \((x + 1)^n\) записывается как:
\[ (x + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k \]
В нашем случае \(n = 4\), поэтому:
\[ (x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^k \]
Теперь, посчитаем каждый коэффициент:
\(k = 0\): \[ \binom{4}{0} x^0 = 1 \]
\(k = 1\): \[ \binom{4}{1} x^1 = 4x \]
\(k = 2\): \[ \binom{4}{2} x^2 = 6x^2 \]
\(k = 3\): \[ \binom{4}{3} x^3 = 4x^3 \]
\(k = 4\): \[ \binom{4}{4} x^4 = 1x^4 = x^4 \]
Таким образом, выражение \((x + 1)^4\) раскрывается как:
\[ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \]
Теперь сопоставим это с выражением справа, вставив соответствующие коэффициенты:
\[ x^4 + 4 \cdot x^3 + 6 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 1 \]
Эти коэффициенты соответствуют биномиальным коэффициентам:
- \(x^4\) соответствует \(C_4^4\)
- \(4x^3\) соответствует \(C_4^3\)
- \(6x^2\) соответствует \(C_4^2\)
- \(4x\) соответствует \(C_4^1\)
- \(1\) соответствует \(C_4^0\)
Таким образом, правильное выражение справа будет:
\[ C_4^4 \cdot x^4 + C_4^3 \cdot x^3 + C_4^2 \cdot x^2 + C_4^1 \cdot x + C_4^0 \]
