Найти пределы не методом лопиталя

Давай вместе решим эту задачу. Дан предел:

\[ \lim_{{x \to \infty}} (2x + 2) \cdot (\ln(x + 2) - \ln(x)) \]

Так как мы не можем использовать правило Лопиталя, давай попробуем преобразовать выражение. Заметим, что \(\ln(x + 2) - \ln(x)\) это логарифм от деления \((x + 2)\) на \(x\), который можно записать как \(\ln\left(\frac{x + 2}{x}\right)\).

Теперь применим свойство логарифма \( \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) \), выражение в скобках можно переписать как:

\[ \ln\left(\frac{x + 2}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) \]

Подставим это в исходный предел:

\[ \lim_{{x \to \infty}} (2x + 2) \cdot \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) \]

Теперь займемся раскрытием выражения \(2x + 2\). Его можно представить как \(2(x + 1)\). Делаем это, чтобы увидеть, как раскрывается предел в бесконечности.

\[ \lim_{{x \to \infty}} 2(x + 1) \cdot \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) \]

Заметим, что \(\ln(1 + \frac{2}{x})\) стремится к 0, когда \(x\) стремится к бесконечности. В это же время \(2(x + 1)\) стремится к бесконечности. Получается неопределенность \(\infty \cdot 0\). Чтобы её раскрыть, преобразуем выражение следующим образом: вынесем \(x\) из под логарифма.

\[ = \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x + 2}{\frac{1}{\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)}} \]

Теперь у нас есть дробь вида \(\frac{\infty}{\infty}\), и мы можем работать с ней, не используя правило Лопиталя. Посмотрим на выражение \(\frac{1}{\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)}\). Его можно упростить, используя второй замечательный предел:

\[ \lim_{{t \to 0}} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1 \]

Сделаем замену \(\frac{2}{x} = t\), тогда \(t\) стремится к 0 при \(x\) стремится к бесконечности, и наш предел принимает вид:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x + 2}{\frac{2}{2+xt}} \]

\[ = \lim_{{x \to \infty}} (2x + 2) \cdot \frac{xt}{2} \]

\[ = \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x + 2}{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{t}} \]

\[ = \lim_{{x \to \infty}} (2x + 2) \cdot \frac{x}{2} \cdot t \]

Так как замена \(t = \frac{2}{x}\), то \(xt = 2\), и теперь предел выглядит так:

\[ = \lim_{{x \to \infty}} (2x + 2) \cdot \frac{2}{2} \]

Таким образом, предел равен:

\[ = \lim_{{x \to \infty}} (2x + 2) = \infty \]

Значит, данный предел стремится к бесконечности.