Решить
Чтобы найти коэффициент при \( x^5 \) в выражении \((x + 2)^8\), нам нужно использовать биномиальную теорему.
Биномиальная теорема
Биномиальная теорема описывает разложение выражения \((a + b)^n\) в виде суммы:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, равный
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Для нашего выражения \((x + 2)^8\), мы имеем:
- \(a = x\)
- \(b = 2\)
- \(n = 8\)
Нахождение коэффициента при \(x^5\)
Нам нужен член при \(x^5\), то есть \(n-k = 5\), откуда \(k = n - 5 = 8 - 5 = 3\).
Теперь найдём соответствующий член в разложении:
\[ \binom{8}{3} x^{8-3} 2^3 \]
Подставляем значения:
- Находим биномиальный коэффициент \(\binom{8}{3}\):
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \]
- Находим \(2^3\):
\[ 2^3 = 8 \]
- Подставляем и вычисляем:
Итак, выражение, содержащее \(x^5\), будет:
\[ 56 \times x^5 \times 8 = 448x^5 \]
Таким образом, коэффициент при \(x^5\) равен \(448\).
