Решить

Чтобы найти коэффициент при \( x^5 \) в выражении \((x + 2)^8\), нам нужно использовать биномиальную теорему. ### Биномиальная теорема Биномиальная теорема описывает разложение выражения \((a + b)^n\) в виде суммы: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, равный \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Для нашего выражения \((x + 2)^8\), мы имеем: - \(a = x\) - \(b = 2\) - \(n = 8\) ### Нахождение коэффициента при \(x^5\) Нам нужен член при \(x^5\), то есть \(n-k = 5\), откуда \(k = n - 5 = 8 - 5 = 3\). Теперь найдём соответствующий член в разложении: \[ \binom{8}{3} x^{8-3} 2^3 \] Подставляем значения: 1. **Находим биномиальный коэффициент \(\binom{8}{3}\):** \[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] 2. **Находим \(2^3\):** \[ 2^3 = 8 \] 3. **Подставляем и вычисляем:** Итак, выражение, содержащее \(x^5\), будет: \[ 56 \times x^5 \times 8 = 448x^5 \] Таким образом, коэффициент при \(x^5\) равен \(448\).