x³+5x²-x-5=0
Для того чтобы решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \), будем действовать пошагово.
Шаг 1: Найдем рациональные корни
Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. По этой теореме, возможные рациональные корни \( p/q \) можно найти, где \( p \) — делители свободного члена (в нашем случае -5), а \( q \) — делители ведущего коэффициента (в нашем случае 1).
Делители -5:
- \( \pm 1 \)
- \( \pm 5 \)
Так как делитель ведущего коэффициента 1, возможные корни — это \( \pm 1 \) и \( \pm 5 \).
Шаг 2: Проверка корней
Теперь проверим, являются ли найденные значения корнями уравнения:
Проверим \( x = 1 \): \[ 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 1 - 5 = 1 + 5 - 1 - 5 = 0 \] Значит, \( x = 1 \) — корень.
Проверим \( x = -1 \): \[ (-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 - (-1) - 5 = -1 + 5 + 1 - 5 = 0 \] Значит, \( x = -1 \) — тоже корень.
Теперь у нас есть два корня: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Шаг 3: Разложим многочлен
Поскольку мы нашли два корня, можно записать многочлен в виде:
\[ (x - 1)(x + 1)(Ax + B) \]
Нам нужно найти \( A \) и \( B \). Сначала умножим \( (x - 1)(x + 1) \):
\[ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \]
Теперь умножим это выражение на \( (Ax + B) \):
\[ (x^2 - 1)(Ax + B) = Ax^3 + Bx^2 - Ax - B \]
Сравним коэффициенты с оригинальным многочленом \( x^3 + 5x^2 - x - 5 \):
- Для \( x^3 \): \( A = 1 \)
- Для \( x^2 \): \( B = 5 \)
- Для \( x \): \( -A = -1 \) (что уже подтверждает \( A = 1 \))
- Для свободного члена: \( -B = -5 \) (что подтверждает \( B = 5 \))
Получаем, что:
\[ x^3 + 5x^2 - x - 5 = (x - 1)(x + 1)(x + 5) \]
Шаг 4: Найдем остальные корни
Теперь, когда мы разложили многочлен, можем найти остальные корни, решая уравнение:
\[ (x + 5) = 0 \Rightarrow x = -5 \]
Итог
Таким образом, все корни уравнения \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \):
- \( x = 1 \)
- \( x = -1 \)
- \( x = -5 \)
Ответ:
Корни уравнения: \( x = 1, x = -1, x = -5 \).
