Разложите на множители -3a²+18a-27=
Чтобы разложить на множители данное выражение \(-3a^2 + 18a - 27\), выполним следующие шаги, соблюдая указанные вами параметры:
Шаг 1: Вынесение общего множителя
Первым делом заметим, что в каждом из членов данного выражения есть общий множитель \(-3\). Вынесем его за скобки:
\[ -3(a^2 - 6a + 9) \]
Шаг 2: Работа со скобками
Теперь разберём выражение в скобках: \(a^2 - 6a + 9\). Это квадратный трёхчлен, и мы можем попытаться его разложить.
Шаг 3: Найти корни квадратного трёхчлена
Для этого посмотрим, можем ли мы выразить его в виде полного квадрата. Вспомним формулу полного квадрата:
\[ (x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2 \]
В нашем случае \(p\) должен удовлетворять условиям:
- Коэффициент при \(a\) равен \(-2p\), следовательно, \(p = 3\).
- Тогда \(p^2 = 3^2 = 9\).
Это значит, что:
\[ a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 \]
Шаг 4: Итоговое разложение
Теперь подставим это обратно в выражение, мы получаем:
\[ -3(a - 3)^2 \]
Ответ
Таким образом, разложенное на множители выражение:
\[ -3(a - 3)^2 \]
Этот результат показывает, что изначальная функция имеет двойной корень при \(a = 3\) и ведёт себя с отрицательным коэффициентом, что указывает на направление ветвей параболы (она направлена вниз).
Обсуждение
2 сообщениякак мы получили (a-3)²
Чтобы понять, как мы получили \((a - 3)^2\) из \(a^2 - 6a + 9\), давайте рассмотрим этот подход более подробно.
Общая форма полного квадрата: Полный квадрат имеет вид \((x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2\). Это значит, что если мы можем представить три-член в виде полного квадрата, мы можем найти значение \(p\).
Сравнение с исходным выражением: У нас есть выражение: \[ a^2 - 6a + 9 \]
Мы сравниваем его с формой полного квадрата. В данный момент \(x = a\) и мы видим, что:
- Коэффициент при \(a\) (или \(x\)) — это \(-6\), что соответствует \(-2p\).
- Константа — это \(9\), что соответствует \(p^2\).
Определение \(p\): Чтобы найти \(p\), приравняем \(-2p\) к \(-6\): \[ -2p = -6 \quad \Rightarrow \quad p = \frac{-6}{-2} = 3 \]
Теперь найдем \(p^2\): \[ p^2 = 3^2 = 9 \]
Подстановка в полный квадрат: Теперь, зная, что \(p = 3\), мы можем записать полный квадрат: \[ (a - 3)^2 \]
Проверка раскладки: Для подтверждения правильности разложения можно разложить \((a - 3)^2\): \[ (a - 3)(a - 3) = a^2 - 6a + 9 \]
Таким образом, мы доказали, что \(a^2 - 6a + 9\) действительно раскрывается в \((a - 3)^2\).
В итоге, мы можем утверждать, что:
\[ a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 \]
Поэтому, конечный результат разложения на множители выражения:
\[ -3(a - 3)^2 \]
является корректным.
