В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 350 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Чтобы решить задачу, начнем с определения нескольких параметров.
Определим среднюю цену акций акционера Б.: У нас есть 5 акций с ценами 100, 200, 300, 400 и 500 рублей. Посчитаем их сумму:
\[ 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 \text{ рублей} \]
Теперь найдем среднюю цену акций:
\[ \text{Количество акций} = 5 \]
\[ \text{Средняя цена} = \frac{1500}{5} = 300 \text{ рублей} \]
Однако, по условию задачи, средняя цена акций составляет приблизительно 333 рубля. Это означает, что акционер имеет больше 5 акций.
Обозначим количество акций акционера Б. до покупки последней акции как \( n \). Теперь пусть средняя цена его акций равна 333 рубля. Тогда у него есть \( n \) акций, и мы можем выразить сумму стоимости его акций через среднюю цену:
\[ \text{Сумма стоимости акций} = 333n \]
Установим неравенство после покупки одной акции за 500 рублей, когда средняя цена не достигла 350 рублей:
После покупки еще одной акции количество акций станет \( n + 1 \), а сумма акций составит \( 333n + 500 \). По условию, новая средняя цена акций равна:
\[ \text{Новая средняя цена} = \frac{333n + 500}{n + 1} < 350 \]
Умножим обе стороны неравенства на \( n + 1 \):
\[ 333n + 500 < 350(n + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ 333n + 500 < 350n + 350 \]
Переносим все члену с \( n \) в одну сторону, а константы в другую:
\[ 500 - 350 < 350n - 333n \]
\[ 150 < 17n \]
Теперь находим \( n \):
\[ n > \frac{150}{17} \approx 8.82 \]
Поскольку \( n \) должно быть целым числом, наименьшее целое значение \( n = 9 \).
Проверяем результат:
- Если \( n = 9 \), то сумма стоимости акций:
\[ \text{Сумма} = 333 \times 9 = 2997 \text{ рублей} \]
- После добавления акции за 500 рублей:
\[ \text{Новая сумма} = 2997 + 500 = 3497 \text{ рублей} \]
- Общее количество акций:
\[ n + 1 = 10 \]
- Новая средняя цена будет:
\[ \text{Новая средняя цена} = \frac{3497}{10} = 349.7 \text{ рублей} \]
Это меньше 350 рублей, что соответствует условию задачи.
Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, составляет 9.
