Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи мы начнем с представления зависимости бюджетных поступлений от ставки налога на продажу сапогов-скороходов в виде квадратичной функции. Давайте обозначим:
- \( x \) — ставка налога в процентах,
- \( f(x) \) — поступления в бюджет в миллиардах фантиков.
Исходные данные:
- \( f(10) = 1.3 \)
- \( f(33) = 1.3 \)
- \( f(27) = 1.6 \)
Поскольку функция является квадратичной, её можно представить в общем виде как: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
- Составление уравнений
На основе известных данных мы можем составить систему уравнений. Подставим известные значения в функцию:
Для \( x = 10 \): \[ f(10) = 100a + 10b + c = 1.3 \]
Для \( x = 27 \): \[ f(27) = 729a + 27b + c = 1.6 \]
Для \( x = 33 \): \[ f(33) = 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Теперь у нас есть три уравнения:
\( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
\( 729a + 27b + c = 1.6 \) (2)
\( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (3)
Вычитание уравнений
Теперь мы можем исключить \( c \) из уравнений. Для этого вычтем первое уравнение из второго и третьего:
Вычтем (1) из (2): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] Это упрощается до: \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (4) \]
Вычтем (1) из (3): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] Это упрощается до: \[ 989a + 23b = 0 \quad (5) \]
- Решение системы уравнений (4) и (5)
Теперь у нас есть новая система уравнений без \( c \):
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
- \( 989a + 23b = 0 \)
Умножим второе уравнение на \( \frac{17}{23} \): \[ 629a + 17b = 0 \] Теперь мы можем решить систему (4) и (5). Из (5) видно, что: \[ b = -\frac{989a}{23} \]
Подставляем \( b \) во (4): \[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \] Найдем общий знаменатель и решим уравнение: \[ 629a - \frac{16713a}{23} = 0.3 \] Умножим обе стороны на 23: \[ 14467a - 16713a = 6.9 \] \[ -2246a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307 \]
Теперь подставим значение \( a \) в одно из уравнений для нахождения \( b \): \( b = -\frac{989 \times -0.00307}{23} \approx 0.1387 \)
Находим \( c \), подставляя \( a \) и \( b \) в уравнение (1): \[ 100(-0.00307) + 10(0.1387) + c = 1.3 \] \[ -0.307 + 1.387 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.08 = 0.22 \]
Таким образом, выражение функции \( f(x) \) будет: \[ f(x) = -0.00307x^2 + 0.1387x + 0.22 \]
- Нахождение максимума
Максимальные поступления будут находиться на оси абсцисс в точке, где производная функции равна нулю: \[ f'(x) = -0.00614x + 0.1387 = 0 \] \[ x = \frac{0.1387}{0.00614} \approx 22.6 \]
Таким образом, оптимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов для максимизации поступлений в бюджет Тридевятого царства составляет примерно 23%.
